3. Уровень определенности объекта. Коэффициент детерминации (определенности). Коэффициент корреляции.

Рассмотрим объект управления. В общем случае количество входных факторов может быть очень большое. Для конкретности рассуждений примем, что наш объект управления имеет десять входов (температура, давление, концентрация и т.д.) и описывается линейным уравнением

Если мы измеряем все 10 входов, то мы полностью знаем объект управления (ошибки измерения примем назначительными). Влияние входных факторов выражается в наличии изменения выходной переменной, которое определяется его дисперсией или средней квадратической ошибкой, оценки которых и определяются по выражениям

здесь - среднее значениеy, являющееся оценкой математического ожидания выходной переменной обекта. При этом выходная переменная с доверительной вероятностью 99,6 % колеблется под действием входных факторов в коридоре ( см рисунок 5). Для определенности будем считать, что все входные факторы равновесны и каждый дает 0.1 от дисперсии выходной переменной.

Рассмотрим показатель

где - вклад в дисперсию выходной переменной изменения,

l - количество измеряемых переменных.

Рисунок 5 Схема линейного объекта.

Таким образом .

Величина показывает, какая часть дисперсииyопределяется измеряемыми входами. Рссмотрим следующие варианы состояния объекта.

Вариант 1. Пусть Измеряются все входы, тогда под контролем все 100% дисперсии y: При этом

Вариант 2. Пусть измеряются 9 входов. Тогда 90% дисперсии находится под контролем и .

.

.

Вариант 10. Пусть измеряется одна величина, т.е. 10% дисперсии под контролем, тогда .

Таким образом R²характеризует степень изученности (определенности) объекта и называется коэффициентом детерминации. Корень квадратный из коэффициента детерминации называется коэффициентом множественной корреляции– коэффициент множественной корреляции.

Еще раз вернемся к физическому смыслу коэффициента детерминации. Вновь рассмотрим наш объект, но с одной измеряемой входной переменной и с постепенным увеличением количества изменяющихся входных переменных.

1. Пусть изменяется переменная . Схема и уравнение объекта:

,

Точки уравнения лежат на прямой линии

2. Пусть изменяются две переменные, а измеряется только одна. Уравнение объекта остается прежним, а дисперсия выходной переменной увеличивается. При этом вместо прямой на графике появляется так называемое корреляционное поле.

Пусть изменяются три переменные, а измеряется только одна. Корреляционное поле расширяется, а коэффициент детерминации еще уменьшается.

2. Пусть изменяются все переменные, а измеряется только одна. Корреляционое поле становиться почти окружностью, а коэффициент детерминации становится равным

В данном случае коэффциент детерминации изменяется в пределах от 0 до 1 и характеризует тесноту связи. При - связь функциональная, все точки легли на прямую. При уменьшении стопени связи также уменьшается размывается. При связи междуxиyнет. Таким образом, в коэффициенте детерминвации мы имеем количественную оценку степени определенности объекта и уровня тесноты связи входных переменных с выходными.

Рисунок 6 Диаграмма классификации объектов управления.

На рисунке 6 приведена диаграмма возможного состояния объекта управления по степени изученности или описания математической моделью. Приобъект является стохастическим и прогнозирование его поведения по входным переменным практически невозможно. Приобъект практически является детерминированным. Между этими крайными случаями объект является стохастическим, прогнозирование его поведения по входным факторам ограничено. Следует учитывать, что показатель определенности не является показателем уровня управляемости объекта, хотя и влияет на его значение. При определенном соотношении спекта возмущающих воздействий и динамики по каналу управляющему воздействию можно с высоким качеством управлять и чисто стохастическими объектами.