Метод наименьших квадратов в матричном виде

Были получены коэффициенты:

Для уравнения 1-го порядка экспериментальные данные будут иметь вид:

Найдем автокорреляционную матрицу вектора :

Умножим матрицу С на матрицу коэффициентовВ,то есть

Находим взаимокорреляционную матрицу:

Построение нелинейной модели путем линеаризации

Нелинейное уравнение находится двумя способами:

1. Метод линеаризации

2. Использование метода нелинейного программирования

- экспериментальные значения

Проведем логарифмирование обеих частей уравнения (1):

где ,,,

Тогда уравнение (1) примет вид:

Получим линейно-регрессионное уравнение, коэффициенты которого иможно определить, но вместо экспериментальных данных нужно использоватьи.

Находим и.

Получив оценки коэффициентов и, находим коэффициенты регрессионного уравнения.

Методика получения нелинейного уравнения аппроксимируя экспериментальные данные

1. Получить экспериментальные данные векторов и.

2. Построить график .

3. Провести анализ графика и подобрать вид уравнения, воспользовавшись справочным материалом.

4. Подобрать закон преобразования переменных иви, чтобы получить искомое уравнение.

5. Пересчитать значения иви.

6. Найти коэффициенты ив уравнении

Построить график . Найти зависимость, что эта функция является прямой линией и рассчитать значения, правильно описывающие пересчитанные значения экспериментальных данных.

7. По коэффициентам и, найти коэффициентыиисходного нелинейного уравнения. Рассчитать значение, построить график на исходном графике. Расчетные значения должны лежать по середине корреляционного поля.

8. Найти количественную оценку точности аппроксимации:

а) Остаточную дисперсию

б) Абсолютную ошибку аппроксимации

ПРИМЕЧАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 4

, где

, где

№
0
1
2
3
…	…	…

Для нахождения коэффициентов ииспользуетсяExcel. Выделим на графике, выбираем экспериментальные точки, нажимаем правую кнопку мыши, выбираем линию тренда, линейная зависимость, выдать уравнение, выдать.

Выдает уравнение , график зависимостиот.

,

где ,,

,

где ,,,

Метод нелинейного программирования

Применяется при наличии статических характеристик колебаний (шум) на экспериментальной переходной характеристике. Рассмотрим метод с использованием разностных уравнений. Данный метод позволяет построить модель и для ступенчатого входного сигнала, а также для любого изменения входного сигнала.

Рассмотрим апериодическое звено 1-го порядка

Решение данного уравнения при ступенчатом входном сигнале определяется суммой следующих выражений.

(1)

- свободное отношение

- вынужденное отношение

В уравнении (1) учтены начальные значения и влияние входной переменной.

Используя данное решение для нахождения выходного сигнала при любом его законе изменения. Постоянное значение также входит в данное множество решений.

1. Произведем дискретизацию во времени входного сигнала, то есть будем брать момент , где- период дискретизации.

Для нахождения необходимо знать следующее:

1. Дифференциальное уравнение

2. Параметрическое дифференциальное уравнение

3. Начальные условия:

4. 

Рассмотрим решение входного сигнала ступеньки на 1-ом периоде дискретизации.

1. Запишем начальные условия.

…

- разложение уравнения для апериодического звена 1-го порядка

Данное уравнение позволяет изменить выходной сигнала для любого закона изменения входного сигнала.

Звено 2-го порядка, то есть апериодическое звено.

Найдем корни этого звена.

Реально-интегрирующее звено.

Запишем 3 системы разных уравнений, которые позволяют описать 3 наиболее распространенные модели объектов управления.

Рассмотрим задачу построения модели по экспериментальным переходным характеристикам:

1. Проведем планирование эксперимента.

2. Проверим характеристики сигналов при ступенчатом изменении входных сигналов и получим графики переходных процессов.

По виду кривых мы можем выбрать вид уравнений, то есть структуру математической модели. Иногда четкого разделения сделать нельзя, поэтому строится несколько моделей и показывается адекватность этих моделей. На основе адекватности моделей выбирают более точную. На данном этапе мы провели структурную идентификацию и выбрали вид уравнения. Следующим этапом параметрической идентификации, то есть получения параметров и коэффициентов модели, для нахождения параметров применим метод нелинейного программирования.

Применение численного метода оптимизации.

Постановка задачи

Возьмем 1-ое звено с передаточной функцией:

Запишем

,

(1)

(2) при(3)

Ограничение типа неравенства формирует решение из возможных физически допустимых решений. Задачей является нахождение таких значений и, чтобы при выполнении уравнений (2) и (3) критерий имел минимальное возмущающее значение. Такие задачи решаются численными методами оптимизации.