Критерий теории мнк (метод наименьших квадратов)

Критерий МНК равен сумме квадратов отклонений расчетного значения от экспериментального на анализируемом интервале времени:

Этот критерий является функциональным и представляет собой, зависимость от двух функций экспериментального и расчетного значения.

1. у=2х→ y=f(x); x→ y;

2. Оператор Лапласа;

3. Функционально: I=f(x),

Задача идентификации включает 2 этапа:

1. Выбор структуры (уравнения модели, системы уравнений, вид уравнений);

2. Параметрическая идентификация – определение коэффициентов – параметров модели.

Определение структуры модели производится на основании знаний по данному процессу из курсов физики, данных литературных источников, экспериментальных оценок специалистов по данному процессу. При отсутствии информации структура может быть выбрана на основе анализа экспериментальных данных, то есть по графическим зависимостям выходных параметров от входных факторов, подбираются уравнения.

Параметрическая идентификация заключается в нахождении таких значений параметров, которые обеспечивают минимального значения выбранного критерия МНК. При линейных моделях используется регрессионный анализ, построенный на основе МНК. При нелинейных и динамических моделях используются численные методы оптимизации (метод Ньютона, метод трапеций). Эти задачи называются задачами нелинейного программирования и формулируются как: I → minи рассчитывается значение

Задачи нелинейного программирования

Включают в себя несколько этапов:

1. Различные критерии;

2. Уравнения математической модели, которые устанавливают связь между рассчитанными значениями.

Основные виды зависимостей между переменными

1. Функциональная зависимость

y=F(x)

Эта модель не имеет элемента случайности, то есть каждому входному значению xсоответствует 1 выходной сигналy.

2. Зависимость случайной величины от неслучайной.

Такая зависимость имеет место, если есть некоторые факторы или выходная переменная измеряется с ошибкой.

е– шум (ошибка)

На схеме влияние некоторого фактора приведенного к выходному параметру объекта в виде случайного шума е. Обычно используется модель случайного сигнала с нормальным законом распределения с нулевым среднем значением и с заданной дисперсиейе = N(0,σ²).

В практике используют зависимость среднего значения выходного сигнала при заданном значении входного сигнала x,то есть так называемого условия математического ожидания от входного сигнала. Задается некоторое значениеx, при этом фиксируется выходной сигнал, который вследствие наличия шумаебудет является случайным. Таким образом, находится среднее значение, откуда строиться зависимость среднего значения от значения входных факторов.

где - количество точек,- количество экспериментов

Данная задача решается с помощью регрессионного анализа.

3. Зависимость случайной величины от случайной величины, то есть зависимость входного и выходного сигналов.

Эти величины являются случайными в виду их измерения с ошибками или влияния на них некоторых факторов. Для данного анализа используется следующая модель:

В данном случае производится измерение двух параметров:

f=N(0,σ²,s);

δ=N(0,σ²).

При этих условиях связь между fи δотсутствует, сама корреляционная связь, то есть математическое ожиданиеили

То есть с точки зрения математического описания объекта в данном случае представляет собой зависимость условия математического описания, то есть

M {η /ξ}– среднее значение математического ожидания функциих.

М(η)=М(у+δ)=М(у)+М(δ)=М(у).

Таким образом, взятие среднего значения выходной переменной, используемого выходного сигнала у, аналогично для использования среднего значения измерения входного сигнала:

Таким путем при построении математической модели исключается влияние случайных составляющих, но для этого необходимо определить объем выборок, то есть экспериментальные данные. Такие задачи решаются методом корреляционного анализа. При этом к регрессионному анализу добавляется вопрос анализа тесноты связи.