лекции / Идентификация объектов управления - УП - Семёнов-Артамонов-Брюхачев - 2003 - 215
.pdfM {G1 G0 }= H 10δ(k) = 0 .
Следовательно, H10 = 0, и ортогональный функционал G1[H1, X(k)] будет
равен
G1[ H 1, X (k)] = H 1(k)X (k) . |
(2.145) |
Найдем далее функционал второго порядка
G2[ H 2 , X (k)] = H 20δ(k) + H 21(k)X (k) +
+ ∑H 2 (k1, k2 )δ(k − k1 − k2 )X (k1)X (k2 ) ,
k1,k2
оргогональный к G0 и G1[H1, X(k)]. Используя соотношение (2.143) для моментов комплексных коэффициентов X(k) и условие (2.144) ортогональности, получим:
|
}= |
|
+ ∑H 2 (k1,−k1)A |
2 |
|
|
|
|
|
|
δ(k) = 0 |
, |
|||
M {G2 G0 |
H 20 |
|
(k1) |
||||
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
M {G2 G1 }= H 1* (k)H 21(k) A2 (k) = 0 .
Так как ядро H1(k) − произвольная функция, то
H 20(k) = −∑H 2 (k1,−k1)A2 (k1) , H 21(k) = 0
k1
и выражение для функционала G2[H2, X(k)] принимает вид
G2[ H 2 , X (k)] = ∑H 2 (k1, k2 )δ(k − k1 − k2 )X (k1)X (k2 ) −
k1,k2
−∑H 2 (k1,−k1)A2 (k1)δ(k) .
k1
Данное соотношение может быть также записано в следующей форме:
G |
2 |
[ H |
2 |
, X (k)] = |
∑ |
H |
2 |
(k |
1 |
, k |
2 |
)δ(k − k |
1 |
− k |
2 |
) 1 − δ(k |
1 |
+ k |
2 |
) X (k |
1 |
)X (k |
2 |
) = |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
] |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k1,k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.146) |
||
|
|
|
|
|
|
∑H 2 (k1, k2 )δ(k − k1 − k2 )X (k1)X (k2 ) , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k1,k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
(k1, k 2 ) |
− функция, тождественно равная нулю на диагонали k1 |
= −k2 и |
|||||||||||||||||||||||
где H 2 |
||||||||||||||||||||||||||
H2(k1, k2) в остальных точках.
Определим функционал G3[H3, X(k)] третьего порядка в виде
G3[ H 3 , X (k)] = H 30δ(k) + H 31(k)X (k) +
+ ∑H 32 (k1, k2 )δ(k − k1 − k2 )X (k1)X (k2 ) +
k1,k2
+ ∑H 3 (k1, k2 , k3 )δ(k1 − k2 − k3 )X (k1)X (k2 )X (k3 )
k1,k2 ,k3
и вычислим математическое ожидание от произведения данного функционала на ортогональные функционалы меньших порядков
M {G3 |
G1 }= H 1 (k) A2 |
|
|
|
|
(k) H 31(k) + 3∑H 3(k, k1,−k1)J (k, k1) A2 |
(k1) |
, |
|||
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M {G3 G2 }= 2 ∑H 32 (k1, k2 )H 2 (k1, k2 ) A2 (k1) A2 (k2 )δ(k − k1 − k2 ) ×
k1,k2
×[2 − δ(k1 − k2 )][1 − δ(k1 + k2 ].
Приравнивая полученные математические ожидания нулю, получим искомые ядра ортогонального функционала третьего порядка:
H 31(k) = −3∑H 3(k, k1,−k1)J(k, k1)A2 (k1) , H 32 (k) = 0.
k1
Тогда выражение для ортогонального функционала G3[H3, X(k)] примет
вид
G3[ H 3 , X (k)] = ∑H 3 (k1, k2 , k3 )δ(k − k1 − k2 − k3 )X (k1)X (k2 )X (k3 ) −
k1,k2 ,k3
− 3∑H 3(k, k1,−k1)J (k, k1) A2 (k1)X (k) .
k1
Данный функционал может быть записан в следующей форме:
G3[ H 3, X (k)] = ∑H 3(k1, k2 , k3 )δ(k − k1 − k2 − k3 ) ×
k1,k2 ,k3
|
|
[ |
− δ(k |
1 |
+ k |
2 |
][ |
1 |
+ k |
3 |
) |
][ |
− δ(k |
2 |
+ k |
3 |
] |
|
1 |
)X (k |
2 |
)X (k |
3 |
) = |
|
|
× 1 |
|
|
) 1 − δ(k |
|
|
1 |
|
|
) X (k |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑H 3 (k1, k2 , k3 )δ(k − k1 − k2 − k3 )X (k1)X (k2 )X (k3 ) , |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
k1,k2 ,k3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
~ |
(k1, k 2 , k 3 ) |
− |
функция, |
|
тождественно |
равная |
нулю на диагоналях |
||||||||||||||||
H 3 |
|
|||||||||||||||||||||||
k1 = −k2, k1 = −k3, k2 = −k3 и H3(k1, k2, k3 ) в остальных точках.
Аналогичным образом могут быть получены ортогональные функционалы более высоких порядков. В общем случае ортогональный функционал m-го порядка будет иметь вид
|
|
|
|
|
m |
|
Gm[ H m, X (k)] = ∑H m(k1,K , km)δ(k − k1−...−km)∏[1 − δ(kr + k j )]∏X (ki ) = |
||||||
k1,K ,km |
|
|
|
i =1 |
||
|
~ |
|
|
m |
|
|
= |
(k1 |
,K , km)δ(k − k1 −...−km)∏X (km) , |
(2.147) |
|||
∑H m |
||||||
k1,K ,km |
|
|
i =1 |
|
||
где Π[1 − δ(kr + kj] |
означает |
произведение m(m − 1)/2 сомножителей, |
||||
образованных всевозможными сочетаниями (r, j) из совокупности элементов
{1, ..., m}; ~ − ядро, тождественно равное нулю, если хотя бы два
H m (k1,K , k m )
аргумента равны по модулю и имеют противоположные знаки.
Ядра Винера полученной модели, оптимальные в среднеквадратическом смысле, определим из уравнения (2.122), которое в частотной области имеет вид
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
G |
|
[ H |
|
, X (k)] |
|
|
Y |
|
M |
|
|
|
|
= M |
||||
∑ |
|
m |
|
m |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
где Y(k) − ДПФ выходного сигнала системы. Подставляя в (2.148) выражение для
нулевого порядка, получим
|
|
|
|
|
(k)G |
[ H |
|
|
(2.148) |
|
, X (k)] , |
|||
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
ортогонального функционала
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Í |
2 |
|
|
Y (k)Í |
|
|
M |
δ(k) |
= M |
|
δ(k) , |
|||
∑ |
|
0 |
|
∑ |
|
0 |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
и, следовательно, Í 0 = M {Y (0)}.
Полагая далее в (2.148) m = 1 и учитывая (2.145), запишем уравнение, определяющее ядро Винера первого порядка
∑Í 1(k)H 1 (k) A2 (k) =∑H 1 (k)A2 (k1) M {Y (k)X * (k)},
k k
из которого следует, что
Í 1 |
(k) = |
M {Y (k)X (k)} |
. |
|
|||
|
|
A2 (k) |
|
Определим ядро Винера второго порядка. Подставляя в уравнение (2.148) выражение (2.146) для ортогонального функционала G2[H2, X(k)], после несложных преобразований получим:
~ |
(k1 |
~ |
|
|
|
|
2 ) A |
2 |
(k1) A |
2 |
(k2 )J (k1, k2 ) = |
|
|
|
||||||||||||
2 ! ∑Í |
2 |
, k2 )H |
2 (k1, k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
k1,k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
~ |
(k1, k2 ) M {Y (k1 + k2 )X |
|
(k1)X |
|
(k2 )}. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
H 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
k1,k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из рассмотрения данного уравнения имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
||||||||||||
~ |
|
[ |
− δ(k |
1 |
+ k |
2 |
|
] |
{ |
|
|
1 |
+ k |
2 |
|
(k |
1 |
)X (k |
2 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
) |
|
M Y (k |
|
|
)X |
|
|
) |
|
. |
|||||||||||
H 2 (k1, k2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 ! J (k1, k2 ) A2 (k1) A2 |
(k2 ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таким же образом может быть получено уравнение, определяющее ядро Винера m-го порядка
m! ∑ |
~ |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, km)∏A |
(ki ) = |
||||||||
Í |
m(k1,K , km)H m(k1,K , km)J (k1,K |
|
||||||||||||||||
|
k1,K ,km |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
* |
|
|
|
|
|
|
= |
∑ |
(k |
,K , k |
|
|
|
+L +k |
) |
∏ |
X |
(k |
|
, |
|
|
|||
H |
|
|
) M Y (k |
|
|
) |
|
|
||||||||||
|
|
m |
1 |
|
m |
|
1 |
|
m |
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
k1,K ,km |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
анализ которого приводит к следующему результату:
~ |
,K , km) = |
∏[1 − δ(kr |
+ k j )]M {Y (k1 |
+K +km)X * (k1) K X * (km)} |
, (2.149) |
||
H m(k1 |
m! J (k1,K , km) A2 |
(k1) K A2 |
(km) |
||||
|
|
|
|||||
где Π[1 − δ(kr + kj] имеет тот же смысл, что и в (2.147).
Полученные выражения (2.147) и (2.148) для ортогональных функционалов и ядер Винера могут быть записаны в более простом виде, если принять во внимание свойство симметрии ядер Hm(k1, ..., km) относительно перестановки аргументов и определить опорную область Dm как множество
всевозможных |
сочетаний |
индексов |
(k1, ..., km) |
из |
совокупности |
чисел |
|
{ −N x , . . . , − 1, |
1, . . . , N x }, таких, |
что |
ki ≠ −kj . Тогда |
на основании |
(2.149) |
||
ортогональный функционал |
m-го |
порядка можно |
представить следующим |
||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Gm[ H m, X (k)] = ∑m! J (k1,K , km)H m(k1,K , km) × |
|
|||||
|
|
Dm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
× δ(k − k1 −...−km)∏X (ki ) . |
(2.150) |
||||
i =1
Так как выражения (2.149) и (2.150) содержат один и тот же множитель m! J(k1, ..., km) они допускают дальнейшее совместное упрощение и приобретают следующий окончательный вид:
|
m |
Gm[ H m, X (k)] = ∑H m(k1,K , km)δ(k − k1 −. . .−km)∏X (ki ) , |
|
Dm |
i =1 |
H m(k1 |
,K , km) = |
M {Y (k1 +K +km)X * (k1) K X * (km)} |
. |
|
|||
|
|
A2 (k1) K A2 (km) |
|
3.Математические модели внешних воздействий
3.1.Характеристики внешних воздействий и их оценивание
Внешние воздействия, как отмечалось в п. 1.1 могут быть полезными (управляющими сигналами u) и помехами (возмущающими воздействиями f). Управляющие сигналы, вырабатываемые устройством управления, являются полностью наблюдаемыми. Возмущающие воздействия, в отличие от них, как правило, ненаблюдаемые и случайные сигналы. В результате выходные переменные объекта y(t) определяются не только входными сигналами x(t), но и ненаблюдаемыми и неуправляемыми воздействиями (помехами), что вызывает неконтролируемые отклонения выходных переменных от заданных значений. При повторения процессов управления, происходящих в системе, выходные переменные могут иметь различные значения при одних и тех же значениях времени отсчитываемых от начала процесса. Выходная величина объекта при каждом повторном цикле управления, в этом случае, представляет собой реализацию одного и того же случайного процесса управления.
Таким образом, под действием ненаблюдаемых, неуправляемых и случайных внешних воздействий наблюдаемые переменные объекта также становятся случайными сигналами, являющимися реализациями случайного процесса управления.
Для количественной оценки и сравнения различных случайных сигналов используют различные характеристики этих сигналов, представляющие собой абстрактные математические понятия, которые существуют объективно, но не могут быть измерены или определены в строгом смысле слова.
К таким характеристикам относятся
1. Функция распределения вероятностей случайного процесса, или интегральная функция распределения. F(y,t), Функция распределения вероятностей, это вероятность того, что случайный процесс x(t) в момент времени t принимает значения меньше у
|
F( y) = P{x(t) < y}. |
(3.1) |
|||
2. |
Плотность вероятностей, |
или дифференциальное |
распределение |
||
(распределение) w(x,t). |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||
|
F( y, t) = ∫w(x, t)dx, |
(3.2) |
|||
|
|
−∞ |
|
||
откуда |
|
w( y, t) = |
dF( y, t) |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dy |
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
|
3. |
Математическое ожидание случайного процесса M [x(t)]= m(t) , |
||||
|
|
∞ |
|
||
|
m(t) = ∫x(t)w(x, t)dx. |
(3.4) |
|||
|
|
−∞ |
|
||
4. Дисперсия случайного процесса |
|
||||
|
∞ |
[x(t) − m(t)]2 w(x, t)dx , |
|
||
|
D(t) = ∫ |
(3.5) |
|||
|
−∞ |
|
|||
или |
D(t) = M [x2 (t)]−{m(t)}2 . |
|
|||
(3.6)
4. Корреляционная (автокорреляционная) функция Rxx(t1,t2) . Корреляционная функция это математическое ожидание произведений двух значений одного и того же сигнала, сдвинутых по времени.
|
Rxx (t1 , t2 ) = M[x(t1 ), x(t2 )]. |
(3.7) |
||
5. Взаимная |
корреляционная |
функция |
Rxy(t1,t2). |
Взаимная |
корреляционная функция это математическое ожидание произведений двух сигналов один из которых сдвинут относительно другого по времени.
Rxy (t1 , t2 ) = M[x(t1 ), y(t2 )]. |
(3.8) |
Точное определение этих характеристик невозможно, так как неизвестен вид закона распределения и конечно число реализаций случайного процесса. Поэтому в реальных условиях эти характеристики вычисляют приблизительно, оценивая их с какой-то погрешностью.
Оценка характеристик случайных процессов проводится на основе роинятия гипотез о стационарноси и эргодичности случайного процесса.
Случайный процесс называют стационарным , если характеризующая его функция распределения не зависит от времени. Отсюда следует, что от времени не будут зависеть и все характеристики случайного процесса. Условие стационарнрсти значительно упрощает вычисление характеристик случайных процессов, так как в выражениях (3.1) - (3.8) исчезает аргумент времени. Однако и вэтом случае для вычисления характеристик необходимо достаточно большое количество независимых реализаций случайного процесса (ансамбль реализаций).
Эргодическая гипотеза позволяет заменить ансамбль реализацй одной реализацией снятой за достаточно продолжительный интервал времени. Согласно эргодической гипотезе средние значения случайного сигнала по множеству и времени совпвдают.
M[x(t)]= lim |
1 |
T |
|
|
∫x(t)dt . |
(3.9) |
|||
|
||||
T →∞ |
2T −T |
|
||
Тогда для случайных стационарных эргодических процессов оценки их характеристик (3.1) - (3.8) с учетом конечности времени наблюдения Т , записываются в следующем виде.
1. Оценка математического ожидания
|
1 |
|
T |
|
|
|
mˆ = |
|
∫x(t)dt . |
|
|
(3.10) |
|
T |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
||
2. Оценка дисперсии |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
1 |
|
T |
2 |
|
|
D = |
|
|
∫[x(t) − m] |
|
dt , |
(3.11) |
T |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
T |
|
T |
|
|
|||
или |
D = |
|
|
|
∫x2 (t)dt − ∫x(t)dt . |
(3.12) |
|||||
T |
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
3. Оценка корреляционнгой функции |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
T |
|
|
|
|
Rxx (τ) = |
|
∫0 |
+τ)dt , |
(3.13) |
||||||
|
T |
||||||||||
|
|
x0 (t)x0 (t |
|||||||||
где x0 (t) = x(t) − mˆ |
- центрированный случайный сигнал. |
|
|||||||||
Корреляционную функцию центрированного сигнала еще называют |
|||||||||||
ковариационной или автоковариационной функцией. |
|
|
|||||||||
4. Спектральная плотность мощности S(ω) , связанная с корреляционной |
|||||||||||
функцией преобразованием Фуре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
Sxx (ω) = ∫Rxx (τ)e− jωτ dτ |
|
|
||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
. |
(3.14) |
||||
|
|
1 |
∞ Sxx (ω)e jωτ dω |
||||||||
|
Rxx (τ) = |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
2π −∫∞ |
|
|
|
|
|||||
Для получения приемлемой точности оценох характеристик случайных процессов длительность реализации процесса по которой вычисляются оценки должна превышать интервал корреляции. Интервал корреляции τmax ето значение аргумента корреляционной функции начиная с которого все ее последующие значения не превышают (0,01 − 0,05R(0) .
Более подробно о вычислении характеристик случайных процессов и их оценок можно познакомиться в специальной литературе [8, 12, 23, 25, 27, 31, 32, 38, 49, 54, 59, 63, 77, 99].
Пример 3.1. Вычислим статистические характеристики входного и выходного сигналов линейной системы с передаточной функцией
W ( p) = 10 p2+1 .
Входной сигнал генерируется оператором randn MATLAB и является случайной функцией с нормальным распределением.
Ниже приводится программа и результаты расчетов.
w=tf(2,[10,1]) % Передаточная функция системы tm=1000;
t=1:tm; % Задание времени наблюдения n=length(t); % Вычисление длины вектора времени u=randn(1,tm); % Формирование входного сигнала y=lsim(w,u,t); % Формирование выходного сигнала plot(t,u,t,y)
tau=-tm+1:1:tm-1;
mu=mean(u) % Вычисление среднего значения входного сигнала my=mean(y) % Вычисление среднего значения выходного сигнала du=std(u)% Вычисление среднеквадратичного отклонения входного сигнала dy=std(y) % Вычисление среднеквадратичного отклонения выходного сигнала
Вычисление корреляционной функции входного сигнала
Вычисление корреляционной функции выходного
сигнала
ryy=xcorr(y,y,'biased'); % Вычисление взимной корреляционной функции subplot (3,1,1)
plot(tau,ruu),grid
subplot(3,1,2)
plot(tau,ryu),grid
subplot(3,1,3)
plot(tau,ryy),grid pause subplot(2,1,2)
[Su,f]=psd(u,n,1); % Вычисление спектральной плотности входного сигнала [Sy,f]=psd(y,n,1); % Вычисление спектральной плотности выходного сигнала subplot(2,1,1)
plot(f,Su),grid
subplot(2,1,2)
plot(f,Sy),grid
mu=-0,0376: my= -0,0736: σu= 1,0191: σy= 0,3901/