лекции / Идентификация объектов управления - УП - Семёнов-Артамонов-Брюхачев - 2003 - 215

4.3.Корреляционный метод идентификации

Вдействительности выходные переменные объекта y(t) определяются не только детерминированными управляющими входными сигналами u(t), но и ненаблюдаемыми и неуправляемыми воздействиями (помехами) e(t), что вызывает отклонения выходных переменных от заданных значений.

Чтобы получить уравнение связи между статистическими характеристиками входа и выхода для стационарных эргодических процессов, пользуются их статистическими характеристиками и, в частности, корреляционными функциями или спектральными плотностями/

Структурная схема исследуемого объекта в этом случае может быть представлена в виде, изображенном на рис. 4.9.

e(t)

u(t) + y(t)

W(p)

Рис. 4.9.

Все ненаблюдаемые помехи, воздействующие на различные части объекта, приведены к выходу объекта и представлены в виде аддитивного шума. Значение выходного сигнала вычисляется по формуле

−∞

Умножив это выражение на x(t + τ) и проинтегрировав обе части по τ в

пределах от –T до T (при T → ∞), получим:

Если Rue(τ) = 0 и ω(t) = 0 , при t < 0 (условие физической реализуемости системы), то уравнение принимает вид:

В силу плохой обусловленности матрицы Ru,u решение уравнения (4.30)

будет неустойчивым. Неустойчивое решение приводит к большим изменениям

Метод коллокации дает систему из m линейных уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов аппроксимирующей функции αk

k=1

Втом случае если желательно получить передаточную функцию объекта

ввиде дробно-рациональной функции, можно по вычисленной функции веса (4.31) найти передаточную функцию используя логарифмический метод (см.

п.4.1).

Так как в эксперименте получаются оценки корреляционной функции, значение искомой функции веса оказывается приближенным. Структура уравнения Винера-Хопфа такова, что небольшие ошибки в определении корреляционных функций приводят к существенным ошибкам в определении импульсной переходной характеристики ω(t) и в итоге к невысокой точности

идентификации параметров системы. Более перспективным является использование корреляционного метода для определения запаздывания в объекте управления. Величина запаздывания будет равна значению аргумента взаимной корреляционной функции, при котором она достигает максимума.

Для повышения точности оценок корреляционных функций необходимо правильно выбирать интервал наблюдения сигналов, для которых оцениваются эти корреляционные функции. Пусть в результате пассивного эксперимента получены оценки корреляционной функции входного сигнала объекта Ruu (τ) и

взаимной корреляционной функции между его входом и выходом Ruy (τ). В

зависимости от вида графика корреляционной функции Ruu (τ) (рис. 4.10), ее аппроксимируют одним из следующих выражений.

Ruu (τ ) Ruu (τ) = R(0)e−a τ

τ

а)

Ruu (τ )

Ruu (τ) = R(0)e−aτ 2

τ

б)

Ruu (τ )

в)

Пример 4.3. Проведем идентификацию корреляционным методом объекта

Идентификация проводилась программой приведенной ниже.

k=2.5;p1=-.1;p2=-3+4*i;p3=-3-4*i; p=[p1 p2 p3];

wo=zpk([],p,k);

[nun,den]=tfdata(wo,'v');

wo=tf(nun,den,'td',10);% Введение запаздывания в объект

tm=700;dt=.01;

t=0:dt:tm;

n=length(t);

u=randn(n,1);% Формирование входного сигнала y=lsim(wo,u,t); % Формирование выходного сигнала

tau=-tm:dt:tm;

ruu=xcorr(u,u,'biased');% Вычисление корреляционной функции входного сигнала ryu=xcorr(y,u,'biased');% Вычисление взаимной корреляционной функции

w=impulse(wo,t);

m=1:5000;

plot(t(m),w(m),t(m),ryu(n:n+4999)/dt),grid

Как следует из (4.25), взаимная корреляционная функция Ruy будет равна функции веса объекта, если корреляционная функция входного сигнала будет являться δ - функцией. Такую корреляционную функцию имеет сигнал типа «белый шум». Если теперь подать на вход объекта «белый шум» (рис. 4.11), имеющий корреляционную функцию в виде δ - импульса (рис. 4.12), то взаимная корреляционная функция будет равна функции веса (рис. 4.13).

Рис. 4.11.

Рис. 4.12.

Рис. 4.13.

Расхождение кривых на рис. 4.13 обксловлено невозможностью сформировать на входе объекта идеальный “белый шум” и погрешностями вычисления корреляционных функций.

Для того чтобы убедится в эффективности вычисления запаздывания корреляционным методом, вчислим функцию веса и взаимную корреляционную функцию объекта с запздыванием раным 10 С.

W ( p) = 2,5e−10 p

( p + 0,1)( p2 + 6 p + 25)

Рис. 4.14.

Как следует из рис. 4.14 величина запаздывания легко вычисляется и равна 10 С.

4.4. Идентификация параметров объекта спектральным методом

Спектральные методы идентификации [74]основаны на использовании аппарата матричных операторов, основы которого рассматривались в п. 2.5. Эти методы являются дальнейшим развитием частотных методов и основываются на разложении сигналов объекта по ортонормированным функциям, не обязательно гармоническим. Результатом идентификации является определение ядра интегрально уравнения объекта (2.79), которое в простейшем случае линейных одномерных систем совпадает с функцией веса. Поэтому эти методы также можно отнести к непараметрическим методам идентификации. Спектральные методы могут применяться для идентификации нестационарных систем, параметры которых, и в частности ядро интегрального уравнения, изменяются во времени.