лекции / Идентификация объектов управления - УП - Семёнов-Артамонов-Брюхачев - 2003 - 215

Рис.3.5.

3.4. Линейные модели и их применение для оценивания характеристик случайных процессов

Как известно [58], спектральная плотность процесса, полученного в результате прохождения белого шума через линейную систему, равна произведению интенсивности входного шума на квадрат модуля комплексной частотной характеристики системы. В свою очередь, комплексная частотная характеристика рекурсивного формирующего фильтра представляет собой функцию, полученную в результате подстановки z = e jω , где j = −1.

Определим спектральную плотность процесса АРСС (p, q), если передаточная функция рекурсивного фильтра

i=1

Делая подстановку z = e jω , в передаточную функцию (3.37) получим:

i=1

Тогда квадрат модуля комплексной частотной характеристики

следовательно, спектральная плотность АРСС-процесса описываемого передаточной функцией (3.37)

где σe2 – дисперсия процесса.

Отметим, что оценивание спектральной плотности (3.40) сводится к оцениванию коэффициентов передаточной функции (3.37) и дисперсии ненаблюдаемого белого шума, т. е. к идентификации АРСС-процесса. Таким образом, АРСС-процессы позволяют получать оценки спектральной плотности непосредственно по наблюдениям, минуя вычисления статистических характеристик наблюдений. Благодаря этому применение АРСС - моделей несколько потеснило методы, основанные на быстром преобразовании Фурье, которое применялось для оценивания спектральных плотностей по значениям ковариационной функции [3] для определения передаточных функций w(t).

Рассмотрим теперь автокорреляционные функции (АКФ) процессов АР(p), CC(q), APCC(p, q). АКФ процесса АР(p) выражается разностным уравнением, которое аналогично уравнению, описывающему сам процесс:

R(m) = c1 R(m −1) + c2 R(m − 2) + ... + cp R(m − p) , (3.41)

где R(m) – значение АКФ при дискретном сдвиге m.

Таким образом, АКФ процесса АР(p) бесконечна и представляет собой затухающую экспоненту или экспоненциально затухающую косинусоиду.

Выражение для дисперсии процесса АР(p) имеет вид

часто используется в качестве модели случайных сигналов и возмущений [18].

Для стационарности процесса необходимо, чтобы ci [–1,1]. Согласно формуле (3.37) АКФ процесса АР(1) удовлетворяет разностному уравнению первого порядка:

На рис. 3.6 по реализациям процесса АР(1) рассчитаны соответствующие АКФ и спектры для случаев c = 0,8 (рис. 3.1,а) и c = –0,8 (рис. 3.6,б).

Рис. 3.6.

Видно, что в случае большого положительного параметра c = 0,8 соседние значения последовательности близки, и наблюдается заметный период (медленное устойчивое колебание). Это отражается на виде АКФ, которая спадает к нулю по экспоненциальному закону, и на виде спектра, в котором преобладают низкие частоты. В случае, когда параметр c = –0,8, последовательность быстро колеблется. Это находит отражение в поведении АКФ; она экспоненциально спадает к нулю, периодически меняя знак. В спектре процесса АР(1) при c = –0,8 преобладают высокие частоты.

Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего первого порядка АРСС (1,1) – описывается формулой

ожиданиям, получим:

Rxe (−1) = (c1 + d1 )σe2 .

Отсюда автоковариационная функция процесса равна:

На рис. 3.7 представлены графики автокорреляционной функции и спектра для процесса АРСС (1,1) для случаев: c = 0,8; d = 0,3 (рис. 3.7,а); c = 0,8; d = – 0,3 (рис. 3.2,б); c = –0,3; d = 0,8 (рис. 3.7,в).

Рис. 3.7.

Таким образом, для описания стохастических систем можно применять модели СС(q), АР(p) или АРСС(p, q). Доказательство этого следует из теоремы представления Острема [58]. Согласно этой теореме, для заданной в виде рациональной функции спектральной плотности S(ω), существует асимптотически устойчивая линейная динамическая система, такая, что при воздействии на ее вход белым шумом с дискретным временем, выходным сигналом будет стационарный процесс со спектральной плотностью S(ω).

Необходимо отметить, что выбор конкретного типа модели и ее порядка можно сделать только на основании тщательного анализа реальных значений процесса.

где y(t) – изменение выходной величины объекта при подаче на его вход ступенчатого управления u (кривая разгона), y0 и u0 установившиеся значения выхода и входа объекта до начала проведения эксперимента.

Если объект управления не допускает изменения выходной координаты, то на его вход вместо ступенчатого воздействия подают единичный импульс или серию импульсов.

При проведении эксперимента по снятию кривой разгона необходимо тщательно изолировать объект от случайных возмущений, стремиться, как можно точнее воспроизвести заданную форму возмущения на входе, дублировать проведение экспериментов по снятию кривой разгона для различных начальных значений y0 и u0.

Рассмотрим определение передаточной функции объекта по кривой разгона логарифмическим методом. Преимущество этого метода состоит в том, что результаты идентификации получаются в виде аналитического выражения, хорошо поддающегося дальнейшей машинной обработке. Методика идентификации в этом случае [57] заключается в аппроксимации переходной характеристики аналитическим выражением типа

значение выходной величины объекта, соответствующее частному решению его ДУ и определяемое вынужденным движением под действием входного сигнала, остальные слагаемые определяют свободные движения и представляют общее решение однородного ДУ объекта, Ск – постоянные интегрирования, рк – корни характеристического уравнения.

Положим, для определенности, что в (4.3) имеется один действительный корень, два комплексно сопряженных и два кратных корня. Логарифмируя (4.3) получим

Для устойчивого объекта свободные движения с течением времени стремятся к нулю, причем время переходного процесса будет определяться корнем имеющим минимальную действительную часть (например, действительным корнем). Тогда начиная с некоторого момента времени слагаемыми в (4.4), имеющими большие действительные части можно пренебречь и приближенно записать

Уравнение (4.5) является асимптотой (2.4) при t → ∞.

Если теперь в полулогарифмическом масштабе построить график уравнения (4.4) , откладывая на оси абсцисс время на оси ординат

z = ln[h(t) − ko ], то неизвестные коэффициенты C1 p1 легко определить графически, как показано на рис 4.1.

Ордината асимптоты при t=0 равна ln((С1), а p1 = tan(α). После чего из

(4.4) можно исключить одно слагаемое соответствующее действительному корню, тогда

Аналогично, начиная с некоторого момента времени слагаемыми в (4.6), имеющими большие действительные части можно пренебречь и приближенно записать