Характеристики случайных процессов и случайных величин

Система управления обычно моделируется при двух видах задающих и возмущающих воздействий:

– детерминирующих сигналов (закон которых известен и может прогнозироваться во времени);

– случайный – стахостических сигналов, зависит от большого количества факторов, точное прогнозирование которых невозможно. Но они обладают определенными закономерностями и параметрами, зная которые можно построить технологический процесс или систему управления.

1. Математическое ожидание – М(х)

2. Дисперсия D(x)

3. Функция распределения F(x)

- плотность распределения для непрерывных величин

4. Корреляционная функция R_xx(x)

5. Спектральная плотность

Математическое ожидание и дисперсия - это числовые характеристики

Корреляционная функция и спектральная плотность определяют скорость изменения случайной величины.

Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или бесконечно, но счетно, то есть элементы можно пронумеровать натуральными числами.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема во всех случаях, кроме точек излома.

Функция распределения F(x) случайной величины Х называется функция выражающая для каждого текущего х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше текущего значения х:

Вероятность события – отношение количества событий благоприятствующих случайной величины к общему количеству выпадений.

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным способом, поэтому введем еще одно понятие для случайной величины – плотность распределения непрерывной случайной величины – это производная ее функции распределения Она существует только для непрерывных случайных величин.

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Существуют различные законы распределения как для дискретных величин, так и для непрерывных случайных величин.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

1. Равномерный закон распределения.

Равномерный закон на отрезке А и В имеет плотность вероятности F(x) постоянную и вне этого отрезка равную нулю.

Функция распределения имеет следующий вид:

2. Показательный закон распределения (экспоненциальный)

3. Закон распределения случайной непрерывной величины (закон Гаусса)

С параметром a и имеет плотность вероятности:

Кривую по нормальному закону распределения называют кривой Гаусса. Она имеет максимум в т.a с ординатой

две точки перегиба:

с ординатами

Кривая симметрична относительно прямой x=a, где a=M(x) и

Функция распределения выражается в виде:

4. Основной закон распределения – логарифмический нормальный закон распределения (логонормальный)

Данные сигналы отличаются уровнем вокруг которых происходят колебания. Этот уровень характеризует наиболее вероятное значение случайной величины.

Математическое ожидание – это наиболее вероятное значение случайной величины.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется:

Основной характеристикой случайной величины является математическое ожидание:

Случайные величины x₁(t) и x₂(t) колеблются на одном уровне, но имеют разные диапазоны колебаний (коридоры). Случайная величина x₂(t) имеет большую амплитуду колебаний, а значит большее отклонение от средней величины.

Дисперсия – «рассеяние» случайной величины.

Дисперсией D(x) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонений от математического ожидания случайной величины.

Для нормального закона распределения дисперсия рассчитывается по формуле:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно в практическом применении, поэтому в качестве показателя рассеивания используется арифметическое значение квадратного корня из дисперсии, то есть средне квадратичное отклонение:

Для непрерывной случайной величины дисперсия находится по следующей формуле:

где – функция распределения

Оценка среднеквадратичного отклонения определятся по формуле:

где (n-1) - степень свободы