3.6. Взаємна індукція. Взаємна індуктивність

Розглянемо два контури 1 і 2 (рис.3.9), що зберігають взаємне розміщення. Якщо по контуру 1 тече електричний струм І₁, то частина його потоку пронизуватиме контур 2. Оскільки магнітний потік через контур 1 пропорційний силі струму І₁, то й магнітний потік через контур 2 також буде пропорційним силі струму І_1, тобто

(3.31)

де L₂₁ – коефіцієнт пропорційності.

У разі зміни сили струму І₁ у контурі 2 індукується ЕРС

Рис.3.9 (3.32)

Аналогічно, коли в контурі 2 тече струм І_2, то контур 1 пронизуватиме потік:

(3.33)

Зі зміною струму І₂ в контурі 1 індукується ЕРС

(3.34)

Розглянуті контури називають магнітозв’язаними, а явище індукції ЕРС в одному контурі в разі зміни струму в другому контурі – взаємною індукцією. Величину L_iк, що визначає зв’язок між зміною відповідної сили струму та індукованої ЕРС, називають взаємною індуктивністю контурів.

Взаємна індуктивність L_iк залежить від форми, розмірів і взаємного розміщення контурів, а також від магнітної проникності середовища, що оточує контури. Вимірюється L₁₂ тими ж одиницями, що і індуктивність.

Обчислимо енергію магнітного поля, створеного обома контурами. Якщо струм протікає лише в одному контурі, наприклад у першому, то енергія магнітного поля і її густина згідно з (3.25) і (3.29) дорівнюють:

(3.35)

Аналогічно, якщо струм протікає лише в другому контурі, то енергія поля і її густина дорівнюють:

(3.36)

Якщо струм протікає в обох контурах одночасно, то напруженість поля в будь-якій точці згідно з принципом суперпозиції дорівнює Отже і і повна загальна енергія контурів W не дорівнює сумі енергій (3.35) і(3.36).

Щоб знайти енергію W, обчислимо роботу, яку повинні виконати джерела струму в обох контурах для того, щоб у контурах виникли струми І₁ і І₂ і було створене відповідне сумарне магнітне поле. Нехай спочатку сила струму в обох контурах дорівнює нулю. Для створення в першому контурі струму сили І₁ джерело струму в цьому контурі повинно виконати проти ЕРС самоіндукції ε_с1 роботу, величина якої згідно з (3.24) дорівнює

Тепер, підтримуючи силу струму І₁ незмінною, будемо збільшувати силу струму в другому контурі від 0 до І₂. При цьому джерело струму повинне виконати роботу

Але при зміні струму І₂ в першому контурі буде виникати індукована ЕРС (3.34). Для того, щоб ця ЕРС не викликала зміни струму І₁, джерело струму в першому контурі повинне виконати проти ЕРС індукції роботу

Скориставшись (3.34), враховуючи, що сила струму І₁ є величиною сталою, отримаємо

Отже, повна робота, яку виконують джерела струму в контурах 1 і 2 при встановленні сил струму І₁ , І₂, дорівнює

(3.37)

Якщо, підтримуючи силу струму І₂ незмінною, збільшувати силу струму в першому контурі від 0 до І₁, то для роботи отримаємо:

(3.38)

Оскільки робота не може залежати від того, в якій послідовності створюються струми – спочатку І₁, а потім І₂ чи навпаки – рівняння (3.37) і (3.38) мають бути тотожніми. Отже, коефіцієнти взаємної індукції двох контурів завжди дорівнюють один одному:

L₁₂=L₂₁. (3.39)

Обчислена робота (3.37), (3.38) витрачається на створення магнітного поля, тобто дорівнює енергії W магнітного поля. Тому можна записати, що

(3.40)

У (3.40) перша складова дає енергію струму І₁, друга – енергію струму І₂, складову L₁₂I₁I₂ називають взаємною енергією струмів І₁ і І₂.

Знайдемо енергію W, прийнявши, що струми І₁ і І₂ одночасно змінюються від нуля до заданих значень. У такому випадку в першому контурі виникає індукована ЕРС, яка дорівнює де а У другому контурі діє ЕРС, що дорівнює Робота, що виконується джерелами струму проти цих ЕРС, витрачається на створення енергії струмів. Тому можна прийняти, що

Скориставшись співвідношенням (3.24), цей вираз можна привести до вигляду

Перші два інтеграли дають співвідношення і Третій інтеграл можна записати так:

Тож, ми знову приходимо до виразу (3.40).

Зважаючи на (3.39), формулі (3.40) для енергії струмів можна надати симетричного вигляду

Для енергії N зв’язаних між собою контурів отримаємо аналогічний вираз

, (3.41)

де L_ік = L_кі – взаємна індуктивність і-го і к-го контурів, а L_іі = L_і – індуктивність і-го контуру.

Знайдемо взаємну індуктивність двох котушок, намотаних на загальне залізне осереддя у вигляді тороїда (рис. 3.10). Оскільки лінії магнітної індукції зосереджені всередині осереддя, то можна прийняти, що магнітне поле, створене будь-якою котушкою з струмом, всюди в осередді буде мати

однакову напруженість Н. Якщо перша котушка має N₁ витків і по ній протікає струм силою І₁, то згідно з законом повного струму можна прийняти, що

(3.42)

де l – довжина осереддя.

Потік магнітної індукції через площу S поперечного перерізу осереддя Підставивши сюди значення Н із формули (3.42) і помноживши отриманий вираз на кількість витків N₂ у другій котушці, отримаємо потокозчеплення з другою котушкою

Рис.3.10

Співставивши цей вираз з виразом (3.31), враховуючи (3.24), знаходимо, що