3.4. Струми при замиканні та розмиканні кола

Внаслідок явища самоіндукції струм при замиканні та розмиканні кола змінюється не миттєво, а з деяким запізненням. У разі замикання кола наводиться ЕРС, протилежна напрузі, яка прикладена до кола. Тому струм досягає свого нормального значення не відразу, а через деякий проміжок часу. У разі розмикання кола наведена ЕРС переміщує електричні заряди в тому самому напрямку, що і зовнішня ЕРС джерела струму. Тому струм у колі припиняється не миттєво, а через деякий проміжок часу. І в першому і в другому випадках цей проміжок залежить від індуктивності L та опору R кола. Здебільшого омічний опір кола значно перевищує індуктивність, тому цей проміжок часу складає частки секунди. Однак у колах з великою індуктивністю і відносно невеликим опором цей проміжок часу може тривати десятки секунд.

Знайдемо спочатку характер зміни струму при розмиканні кола. Нехай до кола з незалежною від сили струму І індуктивністю L і опором R приєднане джерело струму ЕРС ε з ніхтивно малим внутрішнім опором (рис.3.6). Перемикач П контактує з точкою 1. У колі з часом установиться струм

(3.15)

У мить часу t=0 перемикач П перемкнемо в положення 2. Внаслідок самоіндукції сила струму в замкненій ділянці кола буде задовільняти рівнянню

Рис.3.6

або (3.16)

Розділивши змінні I і t, отримаємо

Проінтегруємо це рівняння:

де С — стала інтегрування. Потенціюванням цього рівняння знайдемо

Сталу інтегрування С знайдемо з початкових умов. При t=0 сила струму мала значення (3.15). Отже, стала С=І₀. Підставивши це значення в попереднє рівняння, отримуємо

. (3.17)

Графічна залежність функції (3.17) зображена кривою 1 на рис. 3.7. Швидкість зменшення струму визначається сталою часу τ мережі

(3.18)

Вона має розмірність часу. Замінивши в (3.16) R/L через 1/ τ, отримаємо

(3.19)

Згідно з (3.19) τ є час, за який сила струму зменшується в е разів. Для спрощення розрахунків приймали, що мережа в момент

Рис.3.7 відключення джерела струму замикалася накоротко. Якщо просто розірвати коло з великою індуктивністю, то виникає велика індукована напруга, яка створює іскру або дугу в місці розриву.

Тепер розглянемо випадок замикання кола. Після приєднання джерела струму, доти, поки сила струму не досягне значення (3.15), у колі окрім ЕРС ε буде діяти ЕРС самоіндукції ε_с. Отже, згідно з законом Ома

або

(3.20)

Рівняння (3.20) є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням, що відрізняється від рівняння (3.16) лише наявністю сталої величини ε/L. Згідно з теорією диференціальних рівнянь загальним рішенням лінійного неоднорідного рівняння буде сума будь—якого часткового його рішення та загального рішення однорідного рівняння. Загальне рішення однорідного рівняння має вигляд

Легко впевнитися в тім, що частковим рішенням рівняння (3.20) є рівняння . Отже, загальним рішенням рівняння (3.20) буде функція

.

У початковий момент (t=0) сила струму І=0. Звідси стала С= – І₀.

Таким чином, при замиканні кола струм з часом змінюється за рівнянням

. (3.21)

Графік функції (3.21) зображено кривою 2 на рис.3.7.