курсовая работа / КР / 3 Пояснительная записка

1 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

УПРАВЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

1.1 Построение математической модели для электрической схемы

Рассмотрим построение математической модели в пространстве состояний для объекта управления, представленного в виде электрической схемы, изображенной на рисунке 1.

L₂

Рисунок 1 ­- Эквивалентная схема объекта управления

№ варианта	Параметры элементов эквивалентной схемы объекта управления											Выходная переменная
	R1, Ом	R2, Ом	R3, Ом	R4, Ом	R5, Ом	L1, Гн	L2, Гн	L3, Гн	С1, мкФ	С2, мкФ
10	328	395	118	215	-	24	24	-	-	19605	i1

Таблица 1 - Параметры элементов схемы объекта управления

Вычисления производятся в системе MathCAD.

= e (1)

=0 (2)

= 0 (3)

В третьем уравнении есть интеграл, поэтому дифференцируем его:

= 0 (4)

В уравнениях 1, 2 и 4 введем фиктивные переменные Х₁, Х₂ и Х₃, но с производными на один порядок ниже:

⁼ (5)

⁼ (6)

⁼ (7)

Находим производные от фиктивных переменных. Из (4) следует:

(8)

Из (5) следует:

⁽⁹⁾

Из (2) следует:

⁽¹⁰⁾

В данных уравнениях имеется 6 переменных: i₁, i₂, i₃, X₁, X₂, X₃. Необходимо уйти от i₁, i₂, i₃, выразив их через X₁, X₂, X₃.

(6*)

(7*)

Подставляем в (1) выражения для токов (6*), (7*) и выражаем i₁:

(11)

Выражаем через X₁, X₂, X₃ их производные. Из (8) следует:

(12)

Подставляем значения токов в (9) и (10):

(13)

(14)

Теперь имеем уравнения, выраженные в зависимости от X₁, X₂, X₃ и е(t). Запишем математическую модель данной системы в нормальной фор­ме Коши:

(15)

Уравнение (15) – это уравнение наблюдения для входной величины, где входное напряжение U равно ЭДС

U = |e|

Уравнение выходной величины объекта:

(16)

Основываясь на уравнениях (11), (12), (13) и (14), получаем запись уравнения Коши в матричной форме.

Подставим исходные данные и получим математическую модель в пространстве состояний:

(17)

(18)

1.2 Построение графа системы и нахождение передаточной функции

Рисунок 2 ­– Граф системы

Рисунок 3 – Структурная схема системы

1.3 Нахождение передаточной функции схемы с использованием формулы

Мейсона

Формула Мейсона имеет вид:

(19)

,

где k - количество возможных прямых путей от входа к выходу;

∆ - определитель графа;

Р_k - коэффициент передачи k-ого пути от входа к выходу;

∆_к - определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути;

- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

- сумма всех возможных произведений из 2-ух не касающихся

контуров;

- сумма всех возможных комбинаций из 3-ех не касающихся

контуров.

Определим и запишем уравнения всех путей графа от входа к выходу:

Найдем уравнения замкнутых контуров:

Запишем выражение для определителя графа:

_{Определители путей:}

Передаточная функция графа и всей системы:

(20)

2 ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

С помощью обратного преобразования Лапласа найдем переходную функцию по уравнению передаточной функции (20):

(21)

Рисунок 4 ­– Переходный процесс системы

Определим прямые оценки качества. Установившееся значение тока h_уст равно 2,1∙10^-3 А. Тогда 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующей величине:

Величина перерегулирования выходного параметра при переходном процессе:

h_max = 3,5∙10^-3 А

(22)

Время переходного процесса регулирования температуры t_п=19,6 с.

Время нарастания регулируемой величины (время достижения максимального значения температуры при переходном процессе) t_н=0,45 c.

Время первого согласования (время, когда регулируемая величина в первый раз достигает своего установившегося значения) t₁=0,04 c.

Колебательность системы n определяет число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса и равно единице.

Найдем импульсную функцию:

(23)

Рисунок 5 – Импульсный переходный процесс системы

Найдем частотные характеристики.

Амплитудно-частотную характеристику определяем по формуле:

(24)

Рисунок 6 – Амплитудно-частотная характеристика системы

Определим показатели качества системы по амплитудно-частотной характеристике. Резонансная частота (частота при которой АЧХ достигает своего максимального значения):

ω_р = 1,14 рад/с

Показатель колебательности переходного процесса:

μ = А_max / A(0) = 3,58∙10^-3/2,18∙10^-3=1,64

Полоса пропускания (диапазон частот, в пределах которых система пропускает входной сигнал без существенных искажений) определяется при амплитуде, равной:

A(ω_пр) = 0,707∙A_max = 0,707∙3,58∙10^-3 = 2,53∙10^-3

По графику видно, что ширина полосы пропускания равна диапазону частот:

ω_пр = 0,07… 12,56 рад/с

Фазо-частотная характеристика имеет вид:

(25)

Рисунок 7 – Фазо-частотная характеристика системы

3 СИНТЕЗ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

3.1 Определение передаточной функции формирующего фильтра

По заданной корреляционной функции K_x(τ) в программе Mathcad определяем спектральную плотность S_x(ω) для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

(26)

(27)

Определим спектральную плотность:

(28)

(29)

Рисунок 8 – спектральная плотность входного сигнала фильтра

Передаточная функция формирующего фильтра Ψ(jω) находится из выражения:

(30)

где S_V(ω) - спектральная плотность белого шума.

Белый шум – стационарный случайный процесс, имеющий постоянную спектральную плотность.

S_V(ω) = const

В рамках курсовой работы S_V(ω) принимается равной 1.

Получаем для квадрата модуля частотной характеристики:

(31)

(32)

Находим корни знаменателя:

(33)

Аналогично находим корни числителя:

(34)

Строим корни на комплексной плоскости, изображенной на рисунке 9.

Из корней верхней полуплоскости формируем выражение для Ψ(ω).

(35)

Рисунок 9 ­– Корни уравнения фильтрующего фильтра

Раскрываем скобки в числителе и две последние скобки в знаменателе:

Так как первый сомножитель знаменателя образуется из решения уравнения

_{то его можно заменить непосредственно этим уравнением.}

Передаточная функция фильтра определяется путем замены i∙ω на р в выражении для Ψ(ω):

Открываем скобки и приводим подобные. В результате получаем передаточную функцию формирующего фильтра:

(36)

3.2 Расчёт системы с формирующим фильтром

Пропустим выходной сигнал формирующего фильтра через объект управления в виде электрической схемы.

Y(t)

V(t)

X(t)

Ψ(p)

W(p)

Рисунок 10 – Структурная схема системы с формирующим фильтром

Переходную функцию системы определяем по формуле:

⁽³⁷⁾

На рисунке 11 и 12 изображен график полученной переходной характеристики системы в различных масштабах.

Рисунок 11 – Начало переходного процесса системы с формирующим

фильтром в крупном масштабе

Рисунок 12 – Переходный процесс системы с формирующим фильтром

Определим прямые оценки качества. Установившееся значение тока h_уст равно 2,76∙10^-7 А. Тогда 5% интервал отклонения от установившегося значения будет соответствовать следующей величине:

Величина перерегулирования выходного параметра при переходном процессе зависит от максимального значения выходного параметра системы:

h_max = 7,2∙10^-7 А

Время нарастания регулируемой величины (время достижения максимального значения температуры при переходном процессе) t_н=0,43 c.

Время первого согласования (время, когда регулируемая величина в первый раз достигает своего установившегося значения) t₁=0,02 c.

Колебательность системы определяет число колебаний регулируемой величины за время переходного процесса и равна бесконечности.

Рисунок 12 – АЧХ системы с формирующим фильтром

Амплитудно-частотную характеристику определяем по формуле:

(38)

Резонансная частота (частота при которой АЧХ достигает своего максимального значения):

ω_р = 0,94 рад/с

Показатель колебательности переходного процесса:

μ = А_max / A(0) = 4,50∙10^-7/2,87∙10^-7=1,57

Полоса пропускания (диапазон частот, в пределах которых система пропускает входной сигнал без существенных искажений) определяется при амплитуде, равной:

A(ω_пр) = 0,707∙A_max = 0,707∙4,50∙10^-7 = 3,18∙10^-7

По графику видно, что ширина полосы пропускания равна диапазону частот:

ω_пр = 0,02…14,49 рад/с

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения работы мы освоили математические методы теории систем и приобрели практические навыки анализа систем с применением современных программых и технических средств. В результате анализа мы нашли прямые и косвенные оценки качества системы:

– установившееся значение тока h_уст = 2,1∙10^-3 А;

– величина перерегулирования выходного параметра σ = 67%;

– время переходного процесса регулирования температуры t_п = 19,6 с;

– время нарастания регулируемой величины t_н = 0,45 c;

– время первого согласования t₁ = 0,04 c;

– колебательность системы n = 1;

– резонансная частота системы ω_р = 1,14 рад/с;

– показатель колебательности переходного процесса μ = 1,64;

– полоса пропускания частот ω_пр = 0,07…12,56 рад/с.

Анализ системы, полученной путём пропускания входного сигнала через формирующий фильтр показало, что его применение ведёт к ухудшению показателей качества системы. В частности это привело к появлению высокогармоничных составляющих в сигнале, значительным автоколебаниям и, как следствие, отсутствию установившегося состояния объекта управления.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

(обязательное)

Графическая часть

1 Математическая модель в пространстве состояний 22

2 Передаточная функция системы по формуле мейсона 23

3 График переходного процесса 24

4 График амплитудно-частотной характеристики 25

5 Анализ формирующего фильтра 26

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Сигнальный граф

Структурная схема системы

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ ПО ФОРМУЛЕ МЕЙСОНА

,

где k - количество возможных прямых путей от входа к выходу;

∆ - определитель графа;

Р_k - коэффициент передачи k-ого пути от входа к выходу;

∆_к - определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути;

- сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров;

- сумма всех возможных произведений из двух некасающихся

контуров;

- сумма всех возможных комбинаций из трёх

некасающихся контуров.

Передаточная функция системы

ГРАФИК ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

Прямые оценки качества:

– установившееся значение тока h_уст = 2,1∙10^-3 А;

– величина перерегулирования выходного параметра;

– время переходного процесса регулирования температуры t_п = 19,6 с;

– время нарастания регулируемой величины t_н = 0,45 c;

– время первого согласования t₁ = 0,04 c;

– колебательность системы n = 1.

ГРАФИК АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Косвенные оценки качества:

– резонансная частота системы ω_р = 1,14 рад/с;

– показатель колебательности переходного процесса μ = 1,64;

– полоса пропускания частот ω_пр = 0,07… 12,56 рад/с.

АНАЛИЗ ФОРМИРУЮЩЕГО ФИЛЬТРА

Передаточная функция формирующего фильтра

Переходный процесс системы Амплитудно-частотная характеристика

с формирующим фильтром системы с формирующим фильтром

Прямые оценки качества системы с формирующим фильтром:

– установившееся значение тока h_уст = 2,76∙10^-7 А;

– величина перерегулирования выходного параметра σ = 444%;

– время нарастания регулируемой t_н = 0,43 c;

– время первого согласования t₁ = 0,02 c;

– колебательность системы равна бесконечности.

Косвенные оценки качества системы с формирующим фильтром:

– резонансная частота ω_р = 0,94 рад/с;

– показатель колебательности переходного процесса μ = 1,57;

– полоса пропускания A(ω_пр) = 3,18∙10^-7 А;

– ширина полосы пропускания ω_пр = 0,02÷ 14,49 рад/с.

						Лист
						27
Изм	Лист	№ документа	Подпись	Дата