Тема 3. Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Задан ряд распределения случайной величины
Вероятности рi заданы произвольно, исходя из условия: сумма их равна 1
------------------------------------------
хi 1 2 3 4 5 6
------------------------------------------
рi 0,1 0,3 0,2 0,1 0,2 0,1
Требуется:
1). Найти математическое ожидание и дисперсию.
2) Найти вероятности следующих событий: случайная величина примет значение
а) не больше единицы;
б) не меньше своего математического ожидания.
Решение. 1) Здесь используются формулы для математического ожидания
М(X)=
х
р
+х
р
+…+х
р
и дисперсии
D(X)=(х
)
р
+(х
)
р
+…+(х
)
р
-(
М(X))
Подставляя в формулы значения из таблицы, вычислим
М(X)= 1 0,1+2 0,3+3 0,2+4 0,1+5 0,2+6 0,1=3,3
D(X)=1
0,1+4 0,3+9 0,2+16 0,1+25 0,2+36 0,1-(3,3)
=2,41
2)
а) Р(X
1)=0,1;
б) Р(X
3,3)=0,1+0,2+0,1=0,4
Пример 2. Стрелок делает по мишени n независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле одинакова и равна р.
Требуется:
1)Построить ряд распределения числа попаданий.
2)Найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.
3)Найти вероятность хотя бы одного попадания.
Решение. Пусть n=3; p=0,3. При решении задачи следует использовать формулу биномиальное распределения:
P
(k)=C
p
(1-p)
,
k=0;1;
;n
1)Ряд распределения числа попаданий имеет вид таблицы
k 0 1 2 3
-------------------------------------------------
р 0,343 0,441 0,189 0,027
Проверка. 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 =1
2) Математическое ожидания и дисперсию числа попаданий можно найти по формулам для биномиального распределения: М(X)=n p; D(X)=n p(1-p)
М(X)=3
0,3=0,9;
D(X)=3
0,3 0,7=0,63.
3) P
(X
1)=1-
P
(X=0)=1-0,343=0,657
Пример3. В урне имеются а белых и b черных шаров. Вынимают 2 шара.
Требуется:
1) Построить ряд распределения числа черных шаров среди вынутых.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию числа черных шаров.
Решение. Пусть а=3 b=4.
1)
Очевидно, что случайное число Х
черных
шаров может принимать значения
0; 1; 2. Найдем вероятности этих значений. Обозначим событие А- вынутый
шар белый, событие В – вынутый шар черный. Индекс 1 означает 1-ый вынутый шар, индекс 2 означает 2-ой вынутый шар.
Р(X=0)=Р(А
А 2)=
=
,
Р(X=1)=Р(А
В
+
В
А
)=
++
=
,
Р(X=2)=Р(В1В
)=
=
.
Ряд
распределения числа черных шаров имеет
вид
2).
М(X)=
. D(X)=
-
=
Пример 4. Стрелок ведет независимую стрельбу до первого попадания, имея в запасе n патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна р.
Требуется:
1) Построить ряд распределения числа израсходованных патронов.
2) Найти математическое ожидание числа израсходованных патронов.
(n,p из примера 2)
Решение. n=3, p=0,3. 1). Очевидно, что случайное число израсходованных патронов может принимать значение 1, 2, 3. Найдем вероятности этих значений.
Обозначим
события А
-
попадание при i
выстреле,
-
промах при i
выстреле. События А
и
независимы.(i=1,2,3).
Р(X=1)=Р(А
)=0.3.
Р(X=2)=Р(
А
)=0,7
0,3=0,21. Р(X=3)=Р(
)=(0,7)
=0,49.
Таким образом , ряд распределения имеет вид
М(X)=1
0,3+2 0,21+3 0,49=2,19
. D(X)=1
0,3+4 0,21+9 0,49-(2,19)
=0,754
5. Дана выборка
|
xi |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
5 |
5 |
6 |
Требуется:
1) Построить вариационный ряд.
2) Вычислить выборочные среднее, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.
Решение
Здесь дана выборка объема n=10.
1). Вариационный ряд- это зависимость абсолютной частоты варианта ni от значения варианта xi. Эту зависимость можно представить в виде таблицы
|
xi |
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
|
ni |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2) Выборочное
среднее
=3,1
выборочная дисперсия и среднеквадратичное отклонение
Dв
=
-(
)
=12,3-
9,61=2,69,
=1,64,
где
=
=12,3
6. Дана таблица значений х и у.
Требуется:
1)Вычислить выборочные средние, выборочные дисперсии и средние квадратичные отклонения, выборочный коэффициент корреляции.
2) Записать выборочное уравнение линейной регрессии ух=ax+b. Вычислить остаточную дисперсию.
Решение. Здесь дана выборка объема n=5 из двумерной генеральной совокупности (Х, У).
1).
Выборочные средние
,
.
Выборочные дисперсии и среднеквадратичные отклонения
D
=
-(
)
,
D
=
-(
)
,
,
,
где
=
,
=
.
Выборочный коэффициент корреляции
r
=
,
где
=
(х
у
+х
у
+х
у
+х
у
+х
у
)
Коэффициент
корреляции r
любых двух случайных величин удовлетворяет
неравенству
r
.
Значения r
близкие к нулю соответствуют отсутствию
линейной связи между величинами х и у,
а значения близкие по модулю к единице-
тесной линейной связи между х и у.
2) Выборочное уравнение линейной регрессии
Последнее уравнение должно быть приведено к виду
ух=ax+b
Все расчеты удобно выполнять в табличной форме.
|
n |
x |
y |
x2 |
y2 |
xy |
yx |
(y- yx)2 |
|
1 |
-2 |
-2 |
4 |
4 |
4 |
-0,33 |
2,79 |
|
2 |
2 |
8 |
4 |
64 |
16 |
7,47 |
0,28 |
|
3 |
3 |
11 |
9 |
121 |
33 |
9,42 |
2,50 |
|
4 |
4 |
12 |
16 |
144 |
48 |
11,37 |
0,40 |
|
5 |
11 |
24 |
121 |
576 |
264 |
25,02 |
1,04 |
|
|
18 |
53 |
161 |
909 |
365 |
53 |
7,01 |
1)
Для приведенной выборки
=3,6,
=10,6
D
=
17,84;
D
=69,44
=
=73
r
=
0,99
2)
Выборочное уравнение регрессии
или
yх=1,95х+3,57.
По уравнению регрессии вычисляем ух и заполняют седьмой столбик таблицы.
Остаточная дисперсия вычисляется по формуле
Dост
.=
∑(y-
yx)2=
=2,33