2.3.4. Бином Ньютона.

        Набор элементов {a_k1, a_k2, a_k3, ..., a_km}, (всего m элементов), выбранных без повторения из множества {a₁, a₂, a₃, …, a_n}, содержащего n элементов, где m ≤ n, называется выборкой объема m из n элементов. Пусть, например, даны выборки {a₁, a₄}, {a₂, a₃, a₄}, {a₃, a₂, a₄}; все приведенные выборки разные: первые две отличаются количеством элементов, последние две выборки отличаются порядком элементов.         Выборки {a_k1, a_k2, a_k3, ..., a_km}, в которых учитывается не только набор элементов, но и их порядок, называются размещениями. Число различных возможных размещений из n элементов множества по m (m - объем выборки) обозначается символом A_n^m. Имеет место формула

        Доказательство: если все множество содержит n элементов, то имеется ровно n вариантов выбора одного элемента; при любом выборе первого элемента вариантов выбора второго элемента будет n - 1; следовательно, вариантов выбора двух элементов будет n(n - 1); вариантов выбора третьего элемента из оставшихся n - 2 элементов будет тоже n - 2; следовательно, три элемента можно выбрать n(n - 1)(n - 2) способами; таким образом, для любого числа m, m ≤ n, получаем

где n! = 1·2·3…·n; при этом по определению полагается 1! = 1, 0! = 1.         Выборки, для которых m = n, называются перестановками. Например, {a₁, a₂, a₃}, {a₂, a₃, a₁}, {a₃, a₁, a₂} и т.д. Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n, так как P_n = P_nⁿ = n(n - 1)(n - 2) ... (n - n + 1), то P_n = n!         Если учитывается только набор элементов в выборке (независимо от их порядка), то такие выборки называются сочетаниями. Пусть, например, имеются выборки {a₁, a₂, a₃}, {a₂, a₃, a₁}, {a₃, a₆, a₂}; первые две из них получаются друг из друга перестановкой элементов, поэтому как сочетания они не различаются (но различаются как перестановки); две последние выборки содержат разные наборы элементов, поэтому как сочетания они разные. Число сочетаний из n элементов по m обозначим C_n^m. Если набор содержит n элементов, то из этих элементов можно сделать A_n^m размещений, при этом каждому размещению соответствует еще P_n - 1 размещение, отличающееся от него только порядком элементов, т.е. тождественные с ним как сочетания. Поэтому A_n^m = C_n^m · P_m, то есть .         Частные случаи: если m = 0, то ; если m = 1, то ; если если m = 2, то ; … если m = n - 1, то ; если m = n, то .

        Биномом Ньютона называют разложение выражения (a ± b)ⁿ по степеням a и b (n - натуральное число).

        Количество слагаемых в многочлене (a ± b)ⁿ до приведения подобных членов при увеличении показателя степени на единицу увеличивается в два раза (поэтому общее количество слагаемых до приведения подобных членов будет равно 2^{n + 1}). Когда приводятся подобные члены в многочлене (a ± b)ⁿ, то определяются по сути количества одинаковых слагаемых, то есть числа сочетаний из n элементов по m (ясно, что ).         До сложения показателей слагаемые в разложении бинома (a ± b)ⁿ имеют вид: a·a·a· … a·(±b)·(±b)·(±b)· … (±b); каждое слагаемое содержит n множителей. Количество слагаемых, которые содержат множитель (±b) m раз совпадает с количеством сочетаний по m из n элементов; такие слагаемые будут иметь вид (±b)^m·a^{n - m}; общее число таких слагаемых равно C_n^m, что приводит к так называемой формуле бинома Ньютона:         Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов C_n^m применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля:         Каждый внутренний элемент этой таблицы получается как сумма элементов, стоящих левее и правее строкой выше.         Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые хорошо просматриваются в треугольнике Паскаля:                 а). Свойство, используемое при построении треугольника Паскаля:                 C_n+1^k+1 = C_n^k + C_n^k+1.                 б). Число элементов в строке (в разложении бинома степени n) на единицу больше показателя степени бинома.                 в). Сумма биномиальных коэффициентов в любой строке равна 2n, то есть .                 г). C_n^m = С_n^n-m, так как .         Это свойство означает, что таблица Паскаля симметрична относительно своей центральной линии, или, другими словами, равноотстоящие от краев элементы строки одинаковы: нулевой элемент равен последнему (C_n⁰ = C_nⁿ = 1, m = 0); первый элемент равен предпоследнему (C_n¹ = C_n^{n - 1} = n, m = 1); и т.д.                 д). Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетныx местах.             е).Каждый элемент строки равен предшествующему, умноженному на коэффициент, равный , то есть . В самом деле, .