-
Рассчитаем и построим графики амплитудно-частотной и амплитудно-фазовой характеристик элемента системы управления.
Заменим в передаточной функции p на jω, тогда получим:
.
Освободимся от мнимых чисел в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель выражения на комплексно-сопряженное число знаменателю:
Здесь:
-вещественная часть,
-мнимая часть.
Рассчитаем амплитудно-частотную характеристику по формуле:
.
Рассчитаем фазово-частотную характеристику по формуле:
Построим графики АЧХ и ФЧХ
АЧХ
ФЧХ
-
Используя формулу Коши, по математической модели в пространстве состояния найдем переходную и импульсную характеристики оу.
Из п.1 математическая модель в пространстве состояния имеет вид:
где:
;
;
.
Введем единичную матрицу Е:
Собственные числа матрицы А:
Решение уравнения Коши имеет вид:
При нулевых начальных условиях первый член равен 0.
Нахождение матричной переходной функции произведем по формуле
Лагранжа-Сильвестра.
Просчитаем данную формулу по частям.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Обозначим переходную матрицу eAt через АА(t) и получим ее выражение по формуле Лагранжа-Сильвестра:
Найдем подынтегральное выражение, обозначив его через АВ(t)
Т.к.
,
используем строку матрицы AB(t)
для x3 (обозначим
ее ab(t)),
а именно:
;
Проинтегрируем данное выражение, получим:
Определим выходную переменную через элементы матрицы C и D, тем самым получим переходную функцию:
.
Решение совпадает с выражением, полученным вручную.
Найдем весовую функцию путем дифференцирования переходной характеристики.
Выражение W(t) также совпадает с решением, полученным вручную.
Построим графики весовой и переходной характеристик:
-
По передаточной функции рассчитаем
а) импульсную и переходную характеристики в программе MathCad и построим графики.
Полученные решения совпадают со всеми предыдущими решениями.
б) амплитудную и фазовую частотные характеристики ОУ:
АЧХ
ФЧХ
Графики АЧХ и ФЧХ совпадают с графиками, полученными в пункте 5.
7. Получить в MathCad решения математической модели в пространстве состояния для импульсного и единичного входных управляющих сигналов. Построить графики реакций ОУ на импульсный и единичный ступенчатые сигналы.
