Цель работы: Освоение математических методов теории систем.

Приобретение практических навыков анализа систем с применением современных программных и технических средств.

Задание

1. Построить математическую модель ОУ в пространстве состояния.

2. По построенной модели составить структурную схему ОУ и сигнальный граф.

3. Используя формулу Мейсона, найти передаточную функцию ОУ.

4. По передаточной функции найти импульсную и переходную характеристики ОУ, построить графики реакции ОУ на единичные импульсный и ступенчатый сигналы,

5. Рассчитать и построить амплитудную и фазовую частотные характеристики ОУ.

6. Используя формулу Коши, по математической модели в пространстве состояния найти переходную и импульсную характеристики ОУ.

7. По полученной передаточной функции в MathCad рассчитать и построить графики:

а) импульсной и переходной характеристик;

б) амплитудной и фазовой частотных характеристик.

8. Получить в MathCad решения математической модели в пространстве состояния для импульсного и единичного входных управляющих сигналов. Построить графики реакций ОУ на импульсный и единичный ступенчатые сигналы.

Исходные данные:

ОУ задан в виде эквивалентной электрической схемы рис.1.

Рис.1

Параметры системы:

R1=328 Ом;

R2=395 Ом;

R3=118 Ом;

R4=215 Ом;

L1=24 Гн;

L2=24 Гн;

C2=19605·10^-6 Ф.

Входной сигнал- U

Выходной сигнал - i2.

С

ОУ

U

I2

труктурная схема объекта управления:

В схеме три элемента, запасающих энергию:

L1, L2, C2, следовательно математическая модель должна быть третьего порядка.

При построении математических моделей следует учитывать следующие соотношения для связи токов, напряжений и комплексных сопротивлений элементов электрической схемы:

Для сопротивления R: ;

Для индуктивности L: ;

Для емкости С: .

1. Построим математическую модель оу в пространстве состояния, для схемы рис 1.

Задаемся направлением контурных токов

Рис 1. Эквивалентная схема объекта управления

Составим уравнения для 3-х контуров Рис.1, используя второй закон Кирхгофа.

(1)

(2)

(3)

Во 3-ем уравнении есть интеграл, чтобы от него уйти продифференцируем это уравнение. Получим:

(3’)

Введем x1,x2,x3- векторы состояния объекта управления.

Рассмотрим уравнение (3’), в котором имеется производная второго порядка. В качестве x1 выбираем элементы уравнения (3’) с производными на порядок ниже, то есть:

(4)

Так как, в выражении для х1 имеется производная, то вводим х2, в качестве которого выбираем элементы уравнения (4) с производными на порядок ниже, то есть:

(5)

Аналогично вводим х3, в качестве, которого выбираем элементы уравнения (2) с производными на порядок ниже, то есть:

(6)

Из уравнений 4,6,5 выразим токи.

(7)

(8)

(9)

Определим производные вектора состояния :

(10)

(11)

(12)

Перейдем в выражениях (10-12) от i1, i2, i3 к х1, х2, х3.

(13)

(14)

(15)

Запишем выражение для выходного параметра:

(16)

Математическая модель в пространстве состояния имеет вид:

,

.

Запишем полученную систему дифференциальных уравнений в матричном виде:

Последние выражения являются математической моделью в пространстве состояния, или математическую модель в пространстве состояния можно записать в виде:

;