1.5.1 Определение преобразований

Условие (1.40) часто не выполняется даже для очень простых функций. Один из путей, позволяющих расширить преобразование (1.38), (1.39) для значительно большего класса функций, заключается в следующем. Если условие (1.40) не выполняется для функции (t), то оно выполняется для функции ₁(t) =(t)e^-ct, где с больше радиуса сходимости функции (t). Практический интерес в теории систем представляют обычно функции, определенные при t0. Поэтому ограничимся классом функций, тождественно равных нулю при t<0. Найдем преобразование Фурье функции ₁(t):

Обозначив s = c+j, получим функцию комплексного переменного s

(1.41)

Преобразование, определяемое формулой (1.41) называется преобразованием Лапласа.

Нетрудно получить формулу обращения для преобразования Лапласа, которая по изображению восстанавливала бы оригинал. Так как при фиксированном с функцию F(s) = F(c + j) можно рассматривать как результат преобразования Фурье функции ₁(t) =(t)e^-сt, то применяя к функции F(c + j) обратное преобразование Фурье, получим

.

Умножив правую и левую часть последнего выражения на e^сt/j и сделав обратную замену c + j = s, имеем

(1.42)

Интегрирование в (1.42) ведется снизу вверх вдоль прямой, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на величину с. Величина с выбирается правее всех полюсов функции F(s). Минимальная величина с, удовлетворяющая этому условию, называется абсциссой абсолютной сходимости. Символическая запись преобразования Лапласа часто записывается как

F(s) = L{(t)},

а обратное преобразование – как

(t) = L^-1{F (s)},

Интеграл (1.42) можно вычислить, воспользовавшись, например, теоремой о вычетах, которая гласит: интеграл по замкнутому контуру, не имеющему особенностей подинтегрированной функции, равен сумме вычетов подинтегральной функции в полюсах, охватываемых этим контуром, помноженной на коэффициент 2j, то есть

где _i –полюсы F(), попадающие в контур Г, n – число этих полюсов, а интегрирование ведется против часовой стрелки.

Чтобы воспользоваться сформулированной теоремой для вычисления интеграла (1.42), нужно замкнуть контур интегрирования дугой бесконечно большого размера через левую полуплоскость.

Если абсцисса абсолютной сходимости равна нулю, то s = j и формулы (1.42) и (1.41) определяют так называемое одностороннее преобразование Фурье (в отличии от двухстороннего, определяемого формулами (1.38) и (1.39).

Другими вариантами преобразования Лапласа являются преобразование Карсона и преобразование Хевисайда. Преобразование Карсона отличается от преобразования Лапласа множителем s в формуле прямого преобразования и соответственно множителем 1/s в формуле обратного преобразования. А преобразование Хевисайда является частным случаем преобразования Карсона, если функция-оригинал и ее производные имеют нулевые начальные условия.

Преобразование Карсона удобно тем, что, как нетрудно вычислить, изображение единичной функции есть единица:

(Единичная функция 1(t) равна единице при t  0 и нулю при t < 0 и часто применяется в теории управления).