2.4.2 Обратное z - преобразование
Как известно, по изображению Лапласа F(s)вполне однозначно может быть восстановлена функция – оригиналf(t)(см. формулу (1.42)). Дляz- преобразования обратноеz- преобразование не является однозначным, то есть, еслиz- преобразование некоторой функцииf(t)равноF(z), то обратноеz - преобразование, примененное кF(z), не обязательно даетf(t).Корректный результат обратногоz - преобразования естьf(kt).Об этом необходимо помнить и это является одним из ограничений методаz- преобразования.
В общем случае обратное z- преобразование может быть определено одним из трех методов.
Метод разложения на простые дроби. Этот метод при небольшой модификации соответствует методу разложения на простые дроби в преобразовании Лапласа.
Как известно, преобразование Лапласа может быть получено в виде
(2.54)
где si– простые полюсы, аAi - вычеты в этих полюсах.
Тогда функция - оригинал определится по формуле (1.64) как сумма экспонент.
Для z- преобразования не нужно представлять функцию-изображение в форме (2.54). В таблицах обратноеz -преобразование для функцииA/z-aотсутствует (хотя при положительном значенииачлен такого вида соответствует последовательности импульсов с экспоненциально затухающей амплитудой, когда присутствует временная задержка).
Но известно, что обратное z -преобразование функцииAz/z-e-aTравноAe-akT, следовательно, удобнее разложить на простые дроби функциюF(z)/z,а после этого обе части равенства умножить наz.Далее находим оригиналы для каждого из слагаемых и записываем результат в виде суммы полученных оригиналов.
Для функций - изображений, не содержащих нулей z=0,то есть не имеющих в качестве множителя в числителеz,временная последовательность оригинала будет иметь сдвиг по оси времени. В этом случае нахождение обратногоz- преобразования будет таким.
Разложение F(z)представляется в обычном виде
после чего вводится вспомогательная функция
По последнему выражению определяется функция оригинал f1(kT)и, далее, функцияf(kT):
(2.55)
Последний переход в формуле (2.55) непосредственно следует из определения z- преобразования, еслиf(kT) 0приk<0.
Метод разложения в степенной ряд. Из определенияz- преобразования (формула (2.51)) следует, что обратноеz- преобразование может быть получено разложением изображенияF(z) в бесконечный ряд по степениz-1:
(2.56)
Величины f(kT) определяются непосредственно по виду этого выражения. Формулу (2.56) можно рассматривать как разложение в ряд Тейлора около бесконечно удаленной точкиz .Если обозначить через(z)функцию, получающуюся изF(z)заменойzна1/z, то из выражения (2.56) следует, что
является разложением в ряд Тейлора относительно начала координат и, следовательно,
.
Но обычно проще найти эти коэффициенты непосредственно делением числителя на знаменатель, так как z - преобразование, как правило, дробно-рациональная функцияz. Если использовать(z),то многочлены при делении следует записывать в порядке возрастания степеней. Если же оперировать непосредственно сF(z),числитель и знаменатель нужно записывать по возрастающим степенямz -1.
Этот метод проще любого другого, если требуется определить (kT) только в нескольких точках t = kT. Недостатком же его является невозможность получения общего выражения для k– ого члена в замкнутой форме.
3. Метод, основанный на использовании формулы обращения. Для обратного z - преобразования можно получить интеграл обращения, аналогичный интегралу обратного преобразования Лапласа (1.42).
Возьмем интеграл обратного преобразования Лапласа (1.42):
где с – абсцисса абсолютной сходимости, следовательно, все особые точки функции F(s) лежат слева от линии интегрирования.
Имея в виду, что требуется получить в результате вывода формулы функцию (kT), заменим t = kT и разобьем линию интегрирования на бесконечное число отрезков:
общая формула для которых (n-1/2)s < < (n+1/2) s , n = 0, 1, 2, … .