Во втором случае получим выражение
(2.46)
где к
– полюсы функции
,
а знак “минус” возникает потому, что
интегрирование по контуру Г2
осуществляется по часовой стрелке.
Полюсы к в формуле (2.46) определяются уравнением
откуда находим
k
= 0, 1,
2,
… .
Эти полюсы простые и, с учетом того, что Re s >c, находятся действительно внутри контура Г2.
Вычет в простом полюсе к находится по известной формуле
(2.47)
Подставляя выражение (2.47) в (2.46) получим
(2.48)
где s = 2/T - круговая частота отсчетов времени t=kT.
Чтобы пользоваться формулами (2.45) и (2.48) необходимо убедиться в равенстве нулю интеграла по бесконечно большому радиусу в левой или правой полуплоскости от подинтегрального выражения (2.44).
Формулы (2.43) и (2.48) дают дискретное преобразование Лапласа в незамкнутой форме, а формула (2.45) – в замкнутой, что и определяет удобство пользования последней. Из свойств дискретного преобразования Лапласа полезно упомянуть свойство периодичности функции F*(s) . Действительно, периодом такой функции будет js. Это нетрудно показать, например, используя формулу (2.48). Подставим вместо s величину s+jns в выражение (2.48), где n – целое число:
где
m
= k+n.
Этот же результат можно получить и из формулы (2.43):
так как s = 2/T, а экспонента в степени - 2jm, где m = nk – целое число, равна единице.
2.4 Z - Преобразование
2.4.1 Определение z - преобразования
Дискретное преобразование Лапласа обладает одним недостатком, который существенно ограничивает его применение для исследования дискретных во времени систем, именно: наличие экспоненты в степени переменной s (это явно заложено в формулах (2.43) и (2.45) и неявно – в формуле (2.48)). То есть дискретное преобразование Лапласа не является дробно-рациональной функцией s, а появление множителя e-Ts может привести к большим трудностям в вычислении обратного преобразования Лапласа. Желательно было бы преобразовать F*(s) к такой форме, чтобы это стало дробно-рациональным выражением относительно некоторой новой переменной. Выбор такой переменной очевиден: это
(2.49)
(хотя в принципе и замена z = e-Ts тоже сгодилась бы).
Из формул (2.49) видно, что z – это комплексная переменная, действительная и мнимая часть которой определяется как
где s = + j.
Таким образом, z - преобразование некоторой непрерывной функции f(t) можно определить как ее дискретное преобразование Лапласа после замены (2.49):
(2.50)
Из определения (2.50) следует, что z - преобразование существует для любой функции, имеющей преобразование Лапласа.
Для вычисления z - преобразования можно применить формулы (2.43), (2.45) и (2.48), из которых после замены переменной (2.49) получается соответственно
(2.51)
(2.52)
(2.53)
Если задана функция f(t)илиf(kT),используется выражение (2.51). Строго говоря, на временные ряды или функции никаких ограничений не накладывается, хотя для того, чтобы записатьz- преобразование в замкнутой форме, ряд (2.51) должен сходиться.
В случае, если задано преобразование Лапласа некоторой функции f(t),ееz- преобразование определяется по формуле (2.52).
И, наконец, формула (2.53) обычно используется при частотном исследовании дискретных сигналов и при доказательстве некоторых теорем.