3.4.3 Диагонализация матриц

Часто возможен в различных задачах переход к такой системе координат, в которой линейное преобразование (3.36) описывается диагональной матрицей. Это очень удобно, так как в этом случае уравнения для компонент векторов оказываются несвязанными друг с другом. Подобная система координат называется нормальной системой, а координаты в таком базисе – нормальными координатами системы. С помощью различных преобразований можно привести матрицу к диагональному виду.

Конгруэнтные преобразования. Действительная симметрическая матрица А ранга r может быть приведена к каноническому виду

(3.43)

Целое число р называется индексом матрицы, а целое число s = p - (r – p) = 2p – r – сигнатурой матрицы.

Комплексная симметрическая матрица ранга r может быть приведена к канонической форме конгруэнтным преобразованием

(3.44)

Эрмитова квадратная матрица ранга r приводится к канонической форме эрмитово конгруэнтным преобразованием

(3.45)

Косоэрмитова матрица ранга r приводится эрмитово конгруэнтным преобразованием к канонической матрице

(3.46)

Индекс р и сигнатура s канонических матриц (3.45) и (3.46) определяются аналогично действительной симметрической матрице (3.43).

Преобразования подобия. В преобразовании подобия используется модальная матрица М. В тех случаях, когда матрица А имеет n различных собственных значений, либо когда при кратных корнях матрица [E – A] полностью вырождена (в этих случаях матрица М имеет n линейно независимых модальных столбцов) преобразование вида М^-1АМ приводит к диагональной матрице . Это нетрудно показать, вернувшись к уравнениям (3.33) для собственных векторов x_i

[_iE – A] x_i = 0.

Эти уравнения можно объединить для всех i = 1,2,…n:

или в сокращенной матричной форме

М = АМ, (3.47)

где  = diag [₁₂…_n] – диагональная матрица, составленная из собственных значений ₁₂…_n. Поскольку модальная матрица М имеет n линейно независимых столбцов, она является невырожденной и следовательно, существует обратная матрица М^-1. Умножив на М^-1 слева уравнение (3.47), получим

 = М^-1АМ.

Таким образом, действительно, преобразование подобия (3.48) позволяет перейти при линейно независимых собственных векторах к диагональной матрице.

Применение такого преобразования подобия всегда возможно для действительной симметрической матрицы. Так как собственные векторы действительной симметрической матрицы (точно так же, как и эрмитовой) ортогональны, то всегда существует такая ортогональная матрица, что

Q^-1AQ = Q^TAQ = diag [₁, ₂ … _n].

Перейдем в линейном преобразовании (3.36) у = Ах к нормальным координатам. Для этого достаточно в соотношениях (3.37), (3.38) заменить матрицу Q = P^-1 на модальную матрицу М. При таком преобразовании х = Мх уравнение (3.36) записывается

у = АМх. (3.49)

Умножая слева на М^-1 уравнение (3.49) получим

М ^-1у= М ^-1АМ х =  х.

Учитывая, что М ^-1у = у, из последнего соотношения имеем

у= х, (3.50)

или расписав уравнение (3.50) по компонентам векторов у и х:

у₁ = ₁х₁,

у₂ = ₂х₂,

………

y_n = _nx_n.

Таким образом, одноименные координаты векторов в нормальной системе координат оказываются связанными независимыми уравнениями. Попутно отметим, что координаты x_i (как и y_i) лежат на собственных векторах или их продолжениях.

Столбцы матрицы М образуют базис, а строки М ^-1 – двойственный базис в исходном пространстве V_n. Если столбцы модальной матрицы обозначить через u₁, u₂, …u_n, а двойственный базис обозначить через r₁, r₂, …r_n, то произвольный вектор у можно представить в виде (3.24):

y = <r₁,y> u₁ + <r₂,y> u₂ + … + <r_n,y> u_n. (3.51)

С другой стороны, эквивалентное представление этого вектора у с использованием нормальных координат выглядит так:

y= MM ^-1y = [u₁, u₂…u_n] M ^-1y = [u₁,u₂…u_n]y =

= [u₁, u₂…u_n ] = y₁u₁ + y₂u₂ + …+ y_nu_n. (3.52)

Сравнение выражений (3.51) с (3.52) с очевидностью дает y_i = <r_i,y>, и, следовательно, строки матрицы М^-1 образуют двойственный базис.

Конечно, к этому же выводу можно было бы прийти из определения двойственного базиса: двойственным по отношению к исходному базису u₁,…u_n будет базис r₁,…r_n, для которого <r_i,u_i> = _ij, а так как u_j – столбцы матрицы М, а r_i – строки М ^-1, то М ^-1М = Е.

У разных авторов можно встретить и разные формы представления вектора: либо в форме скалярных произведений (3.51), либо в форме нормальных координат (3.52), хотя, безусловно, обе формы приводят к тождественным результатам.

Несимметрические матрицы (n n) с кратными собственными числами могут в общем случае содержать меньше, чем n линейно независимых собственных векторов, определяемых уравнениями (3.33). Однако можно показать, что в этом случае произвольная квадратная матрица А с помощью преобразования подобия может быть приведена к канонической матрице Жордана, имеющей следующие свойства:

• диагональные элементы этой матрицы являются собственными числами;

• все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю;

• если соседние элементы на главной диагонали одинаковы, то некоторые элементы, расположенные непосредственно справа от главной диагонали, равны единице;

• остальные элементы равны нулю.

Типичная жорданова форма имеет вид:

“Единицы” в жордановых матрицах встречаются в блоках вида

Они называются клетками Жордана. Количество клеток Жордана, связанных с собственным числом _i, равно количеству линейно независимых собственных векторов, соответствующих _i, то есть дефекту матрицы [_i E – A]. Но определить порядки клеток Жордана – задача чрезвычайно трудная, несмотря на то, что число единиц, связанных с данным _i, вполне определено и равно кратности _i минус дефект [_i E – A]. Поэтому совершенно непонятно, получится ли в результате преобразования J = M ^-1AM матрица вида (3.53) или, например, матрица

И в той и в другой матрице по две клетки Жордана, связанные с собственным числом ₁ и в обеих матрицах по две единицы в этих клетках, но в матрице (3.53) порядки клеток 3 и 1, а в матрице (3.54) обе клетки порядка 2.

В случае полной вырожденности (дефект [_i E – A] равен кратности корня _i) в клетке Жордана не будет ни одной единицы. В случае простой вырожденности (дефект [_i E – A] равен единице) все элементы, непосредственно лежащие справа от главной диагонали с _i , будут равны единице. В промежуточных случаях для определения J и М можно довольствоваться методом проб и ошибок исходя из равенства

MJ = AM.

Обозначим модальные столбцы через х₁,x₂,…x_n. Тогда клетка Жордана порядка m, связанная с _i , существует лишь в том случае, если m линейно независимых векторов x₁,x₂,…x_m удовлетворяют уравнениям:

Ax₁ = _ix₁,

Ax₂ = _ix₂ + x₁, (3.55)

………..

Ax_m = _ix_m + x_m-1.

Уравнения (3.55) применимы для любой клетки Жордана. Модальные столбцы можно определить из этих уравнений, последовательно их решая, начиная с первого уравнения.