Найдем связь между уих в новой системе координат. Для этого умножим наРслева уравнение (3.36)

Py = PАx.

Учитывая соотношения (3.37) из последнего уравнения получим

у= РАР^-1х

или

у = Вх,

где B = Q^-1AQ, P = Q^-1. (3.38)

Матрица В, связывающая вектор у с вектором х в новой системе координат, получается из матрицы А с помощью преобразования (3.38), которое носит название преобразования подобия.

Важным свойством преобразования подобия является инвариантность собственных чисел к такому преобразованию. Действительно, возьмем преобразование (3.35) и запишем характеристический полином для его левой и правой части. Получим цепочку равенств:

B - Е=РАQ - E=P(A - P^-1Q^-1) Q=PQA - P^-1Q^-1.

Учитывая, что в преобразовании подобия P = Q^-1, произведение Pи Q равно единице и окончательно

В - Е=А - Е,

следовательно, собственные значения матриц B и А совпадают.

Если х_i- собственный вектор, соответствующий собственному числу_iматрицыB = Q^-1AQ, тох_i= Qх_iявляется собственным вектором матрицыА, соответствующим тому же самому собственному числу_i.

Ортогональное преобразование.Пусть базисная система векторовz_iортогональна. Если новая система векторовw_iтакже ортогональна, то норма векторахв старой системе координат и норма векторахв новой системе координат должны быть одинаковы, следовательно

<x,x> = < х, х>.

Расписывая это соотношение через матрицу преобразований Q, будем иметь

х^T х= x^Tx = х^TQ^TQ х.

Ясно, что для этого необходимо, чтобы Q^TQ = Е или

Q^T = Q ^-1. (3.39)

Таким образом, при переходе от одного ортогонального базиса к другому матрица преобразования Q должна удовлетворять соотношению (3.39), а преобразование подобия (3.38) с дополнительным условием (3.39) называется ортогональным преобразованием. Ортогональное преобразование сохраняет неизменными нормы векторов и углы между ними.

Унитарное преобразование. Если матрица А линейного преобразования (3.36) является эрмитовой, то при переходе от одного ортогонального базиса к другому (также ортогональному) применяется унитарное преобразование х= Q х, где Q – унитарная матрица, удовлетворяющая соотношению

(Q*)^T = Q^-1. (3.40)

Определитель унитарной матрицы равен  1.

Конгруэнтное преобразование задается формулой

B = Q^TAQ, (3.41)

где Q – неособенная матрица.

Конгруэнтное преобразование, согласно соотношению (3.41), состоит из пар элементарных операций, причем каждая из пар является одним и тем же элементарным преобразованием последовательно строк и столбцов матрицы А.

Аналогом конгруэнтного преобразования для эрмитовых матриц является конъюнктивное (или эрмитово конгруэнтное преобразование)

B = (Q*)^TAQ. (3.42)

При этом преобразовании матрица B получается из матрицы А посредством пар элементарных преобразований, причем каждая пара состоит из преобразования столбца и такого же преобразования комплексно сопряженной строки.