3.4 Линейные преобразования

3.4.1 Элементарные действия над матрицами

Рассмотрим определение действия с элементами матриц.

1. Перестановка произвольных двух строк (столбцов).

2. Многократное прибавление к какой – либо строке (столбцу) другой строки (столбца).

3. Умножение строки (столбца) на отличную от нуля постоянную величину.

Эти три элементарные операции равносильны умножению данной квадратной матрицы слева или справа на некоторую неособенную матрицу, причем такую, чтобы ранг полученной матрицы равнялся бы рангу исходной матрицы.

Операция 1. Эта операция не что иное, как перенумерация строк (столбцов) и, конечно, не меняет ранга матрицы. Пусть Q₁ – единичная матрица размерности (n n) с переставленными i-й и j-й строками. Тогда умножение произвольной (n n) матрицы А на Q₁ слева приводит к матрице с переставленными i-й и j-й строками. Умножение А справа на Q₁ приводит к матрице с переставленными i-й и j-й столбцами.

Операция 2. Сложение с i-й строкой k раз j-й строки обеспечивается умножением на матрицу А матрицы Q₂ слева Q₂A, где Q₂ – единичная матрица с элементом k в i-й строке и j-м столбце (i  j). Такая же операция со столбцами будет обеспечена умножением А на матрицу Q₂ справа AQ₂.

Операция 3. Умножение i-й строки на постоянную k  0 произойдет, если взять произведение Q₃А, где Q₃ - единичная матрица с замененным на k i-м элементом на главной диагонали. Произведение AQ₃ даст аналогичную операцию с i-м столбцом.

Таким образом, любая последовательность элементарных действий над строками матрицы А может быть выполнена в результате умножения слева на А соответствующей последовательности неособенных матриц P_i или, что то же самое, умножения слева на А неособенной матрицы Аналогичные операции со столбцамиА будут получены в результате умножения справа на А неособенной матрицы Q. В результате мы получаем матрицу

B = PAQ, (3.35)

имеющую ранг такой же, как и матрица А.

3.4.2 Эквивалентные преобразования

Свойство матриц иметь одинаковый ранг является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Следовательно, можно говорить об эквивалентности двух матриц, если у них одинаковый ранг (естественно, размерности таких матриц должны совпадать). Преобразование (3.35) не меняет ранга матрицы, то есть можно считать, что две матрицы эквивалентные, если одна из матриц получается в результате выполнения ряда элементарных операций над другой матрицей. Преобразование (3.35) является, таким образом, наиболее общим видом эквивалентных матричных преобразований. Отдельные преобразования получаются из взаимосвязи P и Q.

С помощью эквивалентных преобразований можно произвольную матрицу А ранга r>0 привести к нормальной (или канонической) форме, т.е. к матрице одного из следующих видов

Если неособенную матрицу А можно привести к единичной путем операций над строками А, то в преобразовании (3.35) P = A^-1, Q = E, и по сути, это представляет собой другой метод нахождения обратной матрицы А^-1.

Если в общем случае возможно приведение матрицы А к единичной путем ряда элементарных операций, то

A= P^-1PAQQ^-1 = P^-1EQ^-1 = P^-1Q^-1.

Последнее соотношение показывает, что любая неособенная матрица может быть представлена в виде произведения элементарных матриц.

Рассмотрим конкретные виды преобразований.

Преобразование подобия. Возьмем линейное преобразование

у = Ах, (3.36)

где у и х – векторы в пространстве V_n c базисом z_i. Перейдем от базиса z_i к некоторому новому w_i. При этом векторы у и х переходят в новом базисе к векторам у и х соответственно. Поскольку z_i и w_i являются базисами в V_n, то существует неособенная матрица Р, переводящая векторы без штрихов в векторы со штрихами, то есть

х = Р х, х = Р^-1х ; у = Ру, у = Р^-1у. (3.37)