3.3.3 Симметрическая матрица

Случаи, когда матрица А является симметрической, встречаются в теории систем довольно часто. Достаточно упомянуть, что симметрическими матрицами описывают системы, состоящие из RC – элементов, то есть из емкостей и сопротивлений. Поэтому собственные числа и собственные векторы симметрических матриц требуют особого рассмотрения.

Важным свойством действительной симметрической матрицы является то, что ее собственные значения суть действительные числа. Это можно показать, предположив, что они комплексные. Тогда собственные числа, а также собственные векторы являются комплексно сопряженными, поскольку матрица А по условию действительная, а следовательно, и коэффициенты характеристического уравнения (3.28) действительные числа. В таком случае справедливы уравнения

х = Ах и *х* = Ах*.

Умножая первое уравнение на (х*)^Т слева, имеем

 <x,x> = <x,Ax>.

При умножении транспонированного второго уравнения справа на х получим

* <x,x> = <x,A^Tx>.

Поскольку матрица А симметрическая, то А = А^Т и из равенства правых частей двух последних уравнений следует

( - *) <x,x> = 0.

Скалярное произведение <x,x>  0, а, следовательно, =* и собственные числа действительные.

Следующее свойство симметрических матриц заключается в том, что их собственные векторы попарно ортогональны. Пусть ₁ и ₂ – два различных собственных числа, которым соответствуют собственные векторы х₁ и х₂, так что

₁х₁ = Ах₁ и ₂х₂ = Ах₂.

Умножая первое уравнение на х₂^Т слева, а транспонированное второе – на х₁ справа, получим

₁ <x₂,x₁> = Ax₁ и ₂ <x₂,x₁> = x₁.

Учитывая свойство симметрической матрицы А = А^Т и вычитая из первого уравнения второе, имеем

(₁ - ₂) <x₂,x₁> = 0.

Поскольку ₁  ₂, то <x₁,x₂> = 0.

Третье, уже упомянутое, свойство симметрической матрицы касается кратных собственных значений. Собственные векторы, соответствующие собственному значению _i кратности р, линейно независимы.

Из этих трех основных свойств симметрической матрицы вытекают еще ряд свойств, которые можно сформулировать следующим образом.

1. Собственные векторы симметрической матрицы А n-го порядка порождают n-мерное векторное пространство V_n.

2. Существует, по крайней мере, одно ортонормированное множество собственных векторов матрицы А, которое порождает векторное пространство V_n.

3. Собственные векторы, соответствующие собственному значению _i кратности р, порождают пространство V_p.

4. В любом множестве из n ортонормированных собственных векторов существует ровно р линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению _i с кратностью р.

5. Если одно или несколько собственных значений матрицы А имеют кратность р  2, то существует бесконечное число различных множеств ортонормированных векторов, которые порождают n-мерное векторное пространство V_n. Эти множества соответствуют различным способам выбора ортонормированных базисов, порождающих подпространства V_p с размерностью р 2.