3.3.2 Модальная матрица

Вначале предположим, что все корни характеристического уравнения (3.28) различны. Для каждого из n собственных чисел _i матрицы А можно получить вектор решения x_i, удовлетворяющий системе уравнений

[_iE - A] x_i = 0, i{1,2,…n}. (3.33)

Так как уравнение (3.33) однородное, его решениями будут также векторы k_ix_i, где k_i – произвольный скаляр. То есть уравнение (3.33) однозначно задает лишь направление каждого из x_i. Из вектор - столбцов x_i или пропорциональных им образуем матрицу, которую часто называют модальной матрицей. При различных собственных числах столбцы модальной матрицы можно полагать равными или пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы Adj [_iE - A]. Это следует из того, что Rang [_iE - A] = n-1. Последнее утверждение доказывается весьма просто. Действительно, согласно уравнению (3.27) ранг [_iE - A] меньше n. Но он не может быть меньше n-1, потому что тогда равнялись бы нулю все n-1 миноров любой строки определителя [_iE - A]. Это в свою очередь должно означать, что (согласно соотношению (3.5))

откуда следует, что _i является кратным корнем уравнения (3.27). А это противоречит первоначальной посылке о том, что все _i различны. Таким образом, действительно, ранг [_iE - A] равен n-1 и столбцы модальной матрицы можно задавать пропорциональными любому ненулевому столбцу матрицы Adj[_iE - A]. Поскольку столбцы присоединенной матрицы линейно зависимы для каждого значения _i, то выбор конкретного _i определяет только один столбец модальной матрицы.

Таким образом, при различных собственных числах n столбцов модальной матрицы линейно независимы и, следовательно, образуют базис в соответствующем пространстве V_n.

В случае кратных корней уравнения (3.27) и произвольной матрицы А определение независимых собственных векторов (столбцов модальной матрицы) не очевидно. Дело здесь в том, что не существует однозначно соответствия между порядком кратности корня характеристического уравнения и дефектом соответствующей этому корню характеристической матрицы [_iE - A].

Если кратность некоторого корня, например, _i равна р, то дефект q характеристической матрицы [_iE - A] может быть в пределах 1  q  p, и в этом случае можно найти только q линейно независимых собственных векторов, удовлетворяющих уравнению (3.33) для данного собственного числа _i.

Если вырожденность полная (q = p) (для симметрической матрицы А это выполняется всегда), то можно найти ровно р линейно независимых собственных векторов, соответствующих корню _i кратности р. Эти р различных модальных столбцов можно получить из ненулевых столбцов матрицы

. (3.34)

Если вырожденность простая (q=1), то для корня _i кратности р можно найти только один собственный вектор, соответствующий данному _i. Этот вектор, как и в случае некратных корней, может быть выбран пропорциональным любому ненулевому столбцу матрицы Adj[_iE - A].

Если вырожденность характеристической матрицы 1 < q < p, то q модальных столбцов могут быть получены из различных ненулевых столбцов матрицы (3.34) при замене р на q.

Как определять остальные p-q модальных столбцов при q<p (они будут линейно зависимы от q найденных векторов x_i) будет разобрано в разделе, посвященному матричным преобразованиям.