95

(3.24)

то есть скалярное произведение <r_i,y> равно составляющей вектора у в направлении вектора x_i.

3.3 Собственные значения и собственные векторы

3.3.1 Характеристическое уравнение

Вернемся к уравнению (3.21)

у = Ах,

где матрица А – квадратная размерностью (n n).

Интерес представляет вопрос о том, существует ли в пространстве V_n такой вектор х, который в результате преобразования (3.21) переходит в вектор у, имеющий такое же направление, как и вектор х. При положительном ответе на этот вопрос должно выполняться уравнение

у = х = Ах, (3.25)

где  - некоторый скаляр, являющийся коэффициентом пропорциональности. Задача определения значения _i и соответствующих им векторов x_i, удовлетворяющих уравнению (3.25), известна как задача о собственных значениях (характеристических числах). Векторы x_i, являющиеся решением уравнения (3.25), называются собственными или характеристическими векторами, соответствующими собственным значениям _i.

Векторно – матричное уравнение (3.25) можно переписать в таком виде:

[E - A] x = 0, (3.26)

где Е – соответствующая единичная матрица. Система однородных уравнений (3.26) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю:

E - A  = 0, (3.27)

Развернув определитель в левой части уравнения (3.27), получим многочлен n- ой степени относительно 

D() = ⁿ + a₁^n-1 +… + a_n-1 + a_n = 0. (3.28)

Уравнение (3.27) или, что то же самое, уравнение (3.28) является характеристическим уравнением матрицы А, а его корни суть собственные значения (характеристические числа) матрицы А.

По теореме Виетта коэффициент а_n в уравнении (3.28) равен произведению собственных чисел, то есть

a_n = (-1)ⁿ  ₁  ₂ …_n. (3.29)

С другой стороны, положив  = 0 в D(), мы имеем

D(0) = -A= a_n,

откуда следует, что a_n = (-1)ⁿ A. Из этого выражения и из формулы (3.29) следует, что произведение собственных чисел равно определителю матрицы А:

₁ ₂ …_n=A. (3.30)

Коэффициент а₁ полинома D() по формуле Виетта равен

a₁ = - (₁+ ₂+ …+_n),

а раскрывая определитель E - A увидим, что коэффициент при ^n-1 имеет вид -(а₁₁ + а₂₂ +…+ a_nn), следовательно, сумма диагональных элементов квадратной матрицы равна сумме ее собственных значений:

(3.31)

Сумма диагональных элементов матрицы носит название следа матрицы и обозначается TrA (первые буквы англ. trace – след).

Введя обозначение T_k = TrA^k, можно записать полезную формулу, связывающую коэффициенты a_i характеристического уравнения с T_k рекуррентным соотношением, известным как формула Бохера:

a₁ = -T₁,

a₂ = -1/2 (a₁T₁ + T₂),

a₃= -1/3 (a₂T₁ + a₁T₂ + T₃),

……….

a_n = -1/n (a_n-1T₁ + …+ T_n). (3.32)