4.3.2 Регулярные события и алгебра Клини

Зададим три операции над событиями R и S в алфавите Х.

1. Объединением (дизъюнкцией) событий R и S называется событие Р, обозначаемое R  S = P , которое образуется обычным теоретико-множественным объединением множеств R и S.

2. Конкатенацией (умножением) событий R и S будет событие U =R S , состоящее из слов вида u = rs, где u  U, r  R, s  S, то есть слова события U образуются приписыванием справа любого слова события S к любому слову события R ( но не наоборот!).

3. Итерацией события R называется событие

R^* = e  R RRRRR…Rⁿ … = .

Одноэлементные события, т.е. события х_i, где х_i  Х, будем называть элементарными и обозначать буквами х_i. Событие е, образованное пустым словом е, состоит из одного слова нулевой длины и также относится к элементарным. Событие назовем регулярным, если оно может быть получено из элементарных событий путем конечного применения перечисленных операций: объединения, умножения и итерации, которые также назовем регулярными.

Таким образом, мы определили алгебру регулярных событий (R; U, , *), несущим множеством которой является множество регулярных событий, а сигнатурой  две бинарные и одна унарная операция. Образующие этой алгебры (называемой еще алгеброй Клини) являются элементарные события. Каждый элемент этой алгебры (регулярное событие) может быть описан регулярным выражением в алфавите Х =  x_1,x₂,_…x_m, которое определяется рекурсивно следующим образом:

1. символы x_1,x₂,_…x_m е и Ø являются регулярными выражениями;

2. если R и S - регулярные выражения, то таковыми являются R  S,

R S и R^*;

3. никакое другое выражение не является регулярным, если оно не получено путем конечного числа применения правил 1 и 2.

Таким образом, регулярное выражение  это формула в алгебре событий. Регулярные выражения эквивалентны, если они описывают одно и то же регулярное событие.

Эквивалентные соотношения в алгебре регулярных событий вытекают из свойств операций  , , *. Если P, R, и S  регулярные события, то имеют место соотношения

P  Ø = Ø  P,

P · Ø = Ø · P = Ø,

P ·е = е · P = Ø,

Ø^* = е,

е

P  R = R  P

P · P^* = P^* · P

^* = е ,

коммутативность объединения

и итерации

а

P (R  S) = (P R)  S

P·(R  S) = (P · R) · S

ссоциативность объединения

и умножения,

P ·(R  S) = PR  P S

(P  R) S = P S  RS

левая и правая дистрибутивность умножения относительно объединения

P^* = е  P· P^* развертывание итерации,

идемпотентность объединения

и итерации

P^* P = P^* - дизъюнктивное поглощение итерации

P^{* ·} Р^*= P^* - мультипликативное поглощение итерации

Из рассмотрения операций ,  , ^ вытекает, что все конечные события регулярны. Это следует из того, что любое слово события выражается произведением букв, а любое конечное событие – объединение образующих его слов.

Бесконечное регулярное событие может появиться только благодаря итерации и наоборот, если в регулярном выражении присутствует операция итерации, то оно описывает бесконечное событие (если только итерация не применяется к е, так как е^= е, то есть конечно).

Регулярные события тесно связаны с автоматами. Эта связь дается фундаментальной теоремой Клини.

Теорема 4.3.2 (Клини). Класс событий, представимых в конечных автоматах, совпадает с классом регулярных событий.

По сути эта теорема состоит из двух теорем.

Теорема 4.3.2.а (теорема синтеза). Для любого регулярного события существует конечный автомат, представляющий это событие.

Теорема 4.3.2.б(теорема анализа). Всякое событие, представимое конечным автоматом, непременно регулярно.

Чтобы подойти к доказательству этих теорем, введем понятие источника (синонимы: переходный граф сигналов, сигнальный граф), под которым будем понимать ориентированный граф, в котором выделены начальные и заключительные вершины, и на каждом ребре написана буква из алфавита X либо е (пустое ребро). Каждый источник H однозначно определяет некоторое событие Е в алфавите X, порождаемое множеством путей из начальных вершин в заключительные. В этом случае говорят, что источник H представляет событие Е. Источники, представляющие одно и то же событие, называются эквивалентными. Частный случай источника – это автомат без выхода.

Для любого источника H можно построить эквивалентный источник Н₀ с двумя полюсами (с одной начальной вершиной и одной заключительной). Для такого построения нужно в Н₀ ввести новую вершину q₀ (единственная начальная вершина) и соединить ее пустыми ребрами с прежними начальными вершинами в Н, а также новую вершину q_z (единственную заключительную) и соединить с ней все заключительные вершины в Н пустыми ребрами. В остальном Н₀ совпадает с Н.

Теорема 4.3.3. Для любого регулярного события Е существует двухполюсный источник, представляющий Е.

Доказательство. Теорема доказывается индукцией по глубине построения формулы регулярного события. Элементарное событие представляется сигнальным графом с двумя вершинами – начальной и заключительной и ребра, соединяющего эти вершины, на котором написана буква х_i или е (рис. 4.1,а).

Если построены двухполюсные источники: Н₁, представляющий регулярное событие Е₁, и Н₂, представляющий регулярное событие Е₂, с начальными q₀₁, q₀₂ и заключительными q_z1 и q_z2 вершинами соответственно, то источник Н с начальной вершиной q₀ и заключительной – q_z, представляющий регулярное событие Е – результат регулярной операции над Е₁ и Е₂, строится следующим образом:

1. объединение Е = Е₁Е₂ будет изображено параллельным соединением Н₁ и Н₂ (рис. 4.1,б). Из вершины q₀ проводятся пустые ребра в q₀₁ и q₀₂, а из q_z1 и q_z2 проводятся пустые ребра q_z;

2. конкатенация Е = Е₁ Е ₂ строится последовательным соединением Н₁ и Н₂ (рис. 4.1,в). Из q_z1 проводится пустое ребро в q₀₂; вершина q₀₁ объявляется начальной у Н, вершина q_z2 – заключительной;

3. итерация Е = Е₁^ получается зацикливанием Н₁ (рис. 4.1,г): из вершины q_z1 проводится пустое ребро в q₀₁ и эта же вершина q₀₁ объявляется начальной и заключительной в Н.

Построенные таким образом источники действительно представляют соответствующие события. Докажем это, например, для объединения Е = Е₁Е₂ (доказательства для умножения и итерации аналогичны). Возьмем хЕ. Тогда х = х₁х₂, где х₁Е₁, а х₂Е₂. По условию Н₁ представляет Е₁, Н₂ представляет Е₂, поэтому существует путь х₁ из q₀₁ в q_z1 и путь х₂ из q₀₂ в q_z2. Тогда по построению существует путь ех₁е  ех₂е = х₁  х₂ из вершины q₀