4.3 Распознавание множеств автоматами

4.3.1 Понятие события и постановка задачи представления

событий автоматами

Пусть X =  x₁…x_m произвольный входной алфавит, а X^{* -} множество всех слов в этом алфавите. Тогда любое подмножество E  X^* - назовем событием в алфавите X. Конечно, можно было бы просто говорить "множество слов", но термин "событие" прижился в теории автоматов и стал общепринятым.

Для простоты изложения далее будем оперировать с автоматами без выходов.

Событие EX^* назовем представимым в автомате S = (X,Q,,q₁,F), если (q₁,x)  F тогда и только тогда, когда x  E. Всякому автомату при заданных q₁ и F однозначно соответствует представимое в нем событие: на графе автомата оно соответствует множеству путей, ведущих из q₁ в вершины, принадлежащие множеству заключительных состояний F. Событие называется представимым, если существует конечный автомат, в котором оно представимо. Синонимом этого понятия является: множество определимое или допустимое, или распознаваемое автоматом. Другими словами представимое в автомате событие можно назвать множеством, разрешимым автоматом.

Начальное состояние q₁ также может относится к множеству заключительных состояний q₁  F. В этом случае автомат, ничего не имея на входе, уже что-то представляет. Принято считать, что это "что-то" - пустое слово (пустой символ е) и оно содержится в событии, представимым этим автоматом. Для произвольного слова x выполняется равенство еx = xе = x, то есть пустое слово е играет роль единицы в свободной полугруппе слов входного алфавита, где ассоциативный бинарный операцией является конкатенация (приписывание одного слова к другому).

Не нужно путать пустое слово е с пустым событием (пустым множеством Ø). Автомат представляет пустое событие Ø, если ни одно из его заключительных состояний не достижимо из начального состояния.

С введением пустого символа е можно легко превратить любое алфавитное отображение в автоматное. Это делается с помощью стандартного приема.

Предположим, что  - произвольное частичное отображение множества слов X^* в множестве Y^* . Введем в алфавит X и Y пустую букву е и образуем ноые алфавиты X  = Xe Y  = Y e. Рассмотрим произвольное слово p X^* , имеющее длину n, которое отображением  переводится в слово длины m r =  (p), r  Y^* . Обозначим через р слово, образованное из р приписыванием справа m раз буквы е, а через r слово в алфавите Y  , полученное из r приписыванием слева n раз буквы е. В результате получаем одинаковую длину слов p и r , равную m + n. Повторив этот прием для каждого слова p  X^* , на котором определено отображение , и полагая r =   (p), получим новое частичное отображение  множества X ^* в множество Y ^* .

Теперь доопределим отображение   на всех начальных отрезках p_i любого слова p  X ^* . Назовем это пополнением отображения   и обозначим   . Смысл такой операции заключается в следующем. Если p₁ - начальный отрезок слова p из области определения отображения , то полагаем (p₁) равным начальному отрезку слова ^'(p), имеющему равную с отрезком p₁ длину. В результате пополнения отображения  получим новое отображение  , область определения которого удовлетворяет условию полноты. Можно показать, что полученное отображение  удовлетворяет условию однозначности и, следовательно, является автоматным.

Таким образом, частичное отображение , построенное из произвольного алфавитного отображения , удовлетворяет условиям автоматности и является частичным автоматным отображением.

Стандартный прием в силу своей общности не всегда приводит к экономному решению в смысле расходования дополнительных букв и состояний.

До сих пор мы рассматривали конечную последовательность букв входного алфавита, то есть слова конечной длины. Но можно говорить, что автомат распознает и бесконечную последовательность букв x = x_i1,x_i2,…, если он представляет множество E =  x_i1,x_i1,x_i2,…, составленное из всех начальных отрезков бесконечного слова х. Оказывается, что не все события представимы в автоматах. Об этом говорит следующая теорема.

Теорема 4.3.1 Существуют события, непредставимые в автоматах, именно: никакая непериодическая бесконечная последовательность не распознаваема конечным автоматом.

Доказательство. Первая часть теоремы должна быть очевидна: во-первых, из сопоставления мощностей соответствующих множеств (множество всех событий контитуально, а множество конечных автоматов счетно), а во-вторых, потому, что существуют неразрешимые множества.

Вторая часть теоремы говорит о том, что могут быть разрешимые множества, но не представимые в автоматах. Пример такой последовательности, скажем, а алфавите 0,1: 010110111011110…

Действительно, предположим, что некоторая непериодическая последовательность x = x_i1 x_i2 … x_ij все же распознаваема автоматом S c n состояниями. Тогда для любого ее начального отрезка x_j = x_i1 x_i2 … x_ij будет верным  (q₁,x_j)=q_ij , где q_ij - заключительное состояние.

В процессе переработки последовательности х автомат проходит заключительные состояния q_i1 … q_ij …, а так как множество Q_S конечно, то какое - то состояние q_ij встретится дважды: q_ij = q_i,j+k . Это означает, что (q_ij, x_ij+1 x_ij+2… x_ij+k) = _ij (все состояния, проходимые автоматом, заключительные). Поэтому, если на вход автомата в состоянии q₁ подать периодическую бесконечную последовательность x₁ = x_i x_ij(x_ij+1 … x_ij+k), где в скобках  период такой последовательности, то автомат будет проходить последовательность заключительных состояний. Это означает, что все начальные отрезки слова х₁ входят в событие, представимое в автомате и , следовательно, автомат не отличает х₁ от х, то есть не распознает х вопреки предположению. Что и требовалось доказать.

Из теоремы 4.3.1 следует, что класс множеств, распознаваемых автоматом, есть лишь часть (собственное подмножество) класса разрешимых множеств. Отсюда и из теоремы Райса вытекает, что свойство множества "быть представимым в конечном автомате" алгоритмически неразрешимо. Поэтому не имеет смысла описывать эти множества в терминах произвольных разрешимых множеств и требуются какие-то другие, более слабые, средства такого описания.