4.2.3 Автоматы Мили и автоматы Мура

Общее определение автомата, данное в разделе 4.1, задает так называемый автомат Мили. Характерной особенностью автомата Мили является то, что значение его выхода зависит от полного состояния, то есть как от внутреннего, так и от входного состояния. Другими словами, функция выходаявляется двуместной функцией

y(t) = (q(t-1), x(t)).

В случае, если функция выхода зависит только от внутреннего состояния, но не от входа, получаем автомат, носящий название автомата Мура. Для автомата Мура для любыхq, x_i иx_jвыполняется условие(q , x_i) = (q , x_j),то есть функция выходаодноместная. Часто в этом случае ее обозначают буквойи называютфункцией отметок, так как она каждое состояние помечает вполне однозначно буквами выходного алфавита.

Для автомата Мура матрица выходов вырождается в один столбец, а автоматная таблица записывается с лишним столбцом. Матрица соединений также содержит лишний столбец.

Возможности этих двух видов автоматов совпадают, то есть для любого автомата Мили существует эквивалентный ему автомат Мура (и наоборот). Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы:

Теорема 4.2.2Для произвольного автомата МилиS = (X,Q,Y,,),

X =  x₁,x₂,…x_m, Q =  q₁…q_n,существует эквивалентный ему автомат МураS_M = (X_M, Q_M, Y_M, _M, ).Он может быть построен следующим образом:

X_M = X, Y_M = Y, Q_M содержитm  n + nсостояний -m  nсостояний

q_ij (i = 1,…n, j = 1,…m),соответствующих парам(q_i, x_j)автоматаSиnсостоянийq_io (i = 1,…n).Функция_Mопределяется так:

_М(q_io,x_k) = q_ik(i=1,…n),_М(q_ij,x_k) = q_lk,где индексlопределяется функцией перехода автоматаS : ( q_i ,x_j) = q_l. Функция отметок(q_io)- не определена, а для остальных состояний(q_ij) = (q_i,x_j).Состояниеq_io (i = 1,…n)автоматаS_M отождествляется с начальным состояниемq_iавтоматаS(если задан инициальный автомат).

Доказательство теоремы заключается в том, чтобы показать равенство автоматных отображений S(q_i ,x) = S_M(q_io ,x)для любого состоянияq_i и любого словаx.Это делается индукцией по длинеx и предлагается проделать самостоятельно.

Обратное (получение автомата Мили по автомату Мура) очевидно и не вызывает трудностей.

Таким образом, при исследовании автоматов достаточно пользоваться автоматом Мура. Это в некоторых случаях удобнее потому, что автомат Мура можно рассматривать как автомат без выходов, состояния которого различным образом отмечены. Можно считать, что таких отметок вообще две (например, 0 и 1) и они делят состояния на два класса, один из которых назовем заключительным. Это позволяет дать еще одно определение автомата автомата без выходовS = (X,Q,Y,,q₁,F), где F  Qмножество заключительных состояний, аq₁начальное состояние.

Вспоминая понятие автономного автомата, можно сказать, что автомат Мили может быть представлен как совокупность автономных автоматов по входным и выходным буквам. В случае автоматов Мура имеет смысл говорить об автономных автоматах по входным буквам.

4.2.4 Автоматы первого и второго рода

Вспомним интерпретацию автомата как некоторого устройства, работающего в дискретном времени. Первопричиной появления выходного сигнала и изменения состояния является входной сигнал. Следовательно, выходной сигнал y(t)всегда появляется после входного сигналаx(t).Однако относительно времениtперехода автомата из состоянияq(t-1)в состояниеq(t)выходной сигнал может появиться либо раньше, либо позже этого момента времени. В первом случае уравнения, описывающие работу автомата, будут следующие:

q(t) = (q(t-1),x(t)),

y(t) = (q(t-1),x(t)),(4.2.1)

а автомат будет именоваться автоматом первого рода.

Во втором случае получаем автомат второго родас уравнениями:

q(t) = (q(t-1),x(t)),

y(t) = (q(t),x(t)).(4.2.2)

В уравнениях (4.2.1) и (4.2.2) функция называется либо обычной (для автоматов первого рода) либо сдвинутой (для автоматов второго рода) функцией выхода.

Установим взаимосвязь между автоматами первого и второго рода. Пусть дан автомат второго рода S = (X,Q,Y,,).Запишем функцию переходов(q,x),и сдвинутую функцию выхода(q,x):

y(t) = (q(t),x(t)),

q(t) = (q(t-1),x(t)).

Подставим в первое уравнение q(t),определяемое вторым уравнением. Тогда получим уравнение

y(t) == ((q(t-1),x(t)),x(t)) = (q(t-1),x(t)),

определяющее обычную функцию выхода (q,x),которая характеризует автомат первого рода. Таким образом, подставляя в сдвинутую функцию выхода(q,x)автомата второго рода функцию переходов^(q,x),получаем автомат первого родаS = X,Q,Y,, ,который индуцирует то же самое автоматное отображение, что и автоматS. Такое сведение автомата второго рода к эквивалентному автомату первого рода называется интепретацией автомата второго рода автоматом первого рода. Несколько сложнее показать (на этом останавливаться не будем), что для любого автомата первого рода можно построить эквивалентный ему автомат второго рода.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что автоматы первого и второго рода мы различаем, когда интерпретируем работу конечного абстрактного автомата некоторым реальным устройством.