Разность множеств.

Данная операция, в отличие от операций объединения и пересечения, определяется только для двух множеств. Разностью множеств Х и Yназывают множество, состоящее из трех и только трех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежатY.

или.

Отображения и их свойства.

Пусть XиY– некоторые множества и, причем Пр₁Г=Х. Тройка множеств (X,Y, Г) определяет некоторое соответствие, обладающее тем свойством, что его область определения Пр₁Г совпадает с областью отправления, т.е. Х, и, следовательно, это соответствие определено всюду на Х. Другими словами, для каждогосуществует, так что (х, у)Г. Такое всюду определенное соответствие называетсяотображениемХ вYи записывается как Г:ХY.

Под словом «отображение» часто понимают однозначное отображение. Однако мы не будем придерживаться этого правила и будем считать, что каждому элементу отображение Г ставит в соответствие некоторое подмножество Г_хY, называемое образом элемента х.

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых свойств отображения: совокупность всех элементов Y, являющихся образами Г_хдля всех, назовем образом множества А и будем обозначать Г_А.

Г_А=Г_х

Если А₁и А₂– подмножества Х, то Г(А₁А₂) = Г А₁Г А₂, однако это соотношение справедливо только в том случае, если отображение Г:ХY. В общем же случае

Г(А₁А₂)Г А₁Г А₂

Полученные соотношения легко обобщаются и на большее число подмножеств А_i.

Г() =;

Г().

Функция.

Рассмотрим некоторое отобрание: .

Это отображение называется функцией, если оно однородно, т.е. если для любых пар (x₁, y₁)из х₂= х₁следует у₁= у₂. На рисунке №1 приведен пример отображения, являющегося функцией. Отображение на рисунке №2 – функцией не является.

Понятие функции является чрезвычайно широким, и изучению отдельных классов функций посвящены многие математические дисциплины (алгебра, тригонометрия и т.п.).

Мы рассмотрим только некоторые общие наиболее фундаментальные свойства функции, не касаясь свойств конкретных классов.

Формальное определение функции в виде соотношения:

f= {(x,y) x×y׀y=f(x)}, позволяет установить способы задания функции.

1. Перечисление всех пар (х, у), составляющих множество f₁как это было сделано в некоторых учебных пособиях. Такой способ применим, еслихявляется конечным множеством. Для большей наглядности пары (х, у) удобно располагать в виде таблицы.

2. Во многих случаях как х, так иупредставляют собой множество вещественных или комплексных чисел. В таких случаях очень часто подf(x) понимается формула, т.е. выражение, содержащее перечень математических операций (сложение, вычитание, деление, логарифмирование и т.д.), которые нужно произвести над, чтобы получитьу.

3. Если хи у– множества вещественных чисел, то элементы

(х, у) можно изобразить в виде точек на плоскости ХОУ. Полная совокупность таких точек будет представлять собой график функцииf(x).

Обратная функция.

Понятие обратной функции применимо для такого отображения , которое, во-первых, является однозначным, т.е. для любых (х₁, у₁)и (х₂, у₂)из х₂= х₁следует у₂= у₁, и , во-вторых, является взаимнооднозначным, т.е. из х₂х₁следует у₂у₁. При выполнении этих условий отображениеявляется однозначным, т.е. определяет функцию у =f(х). Обратное отображениеf ^-1:также является однозначным и определяет функцию х =f^-1(у), называемую обратной по отношению к функции у =f(х).