Прямой и обратный разностные операторы.

Уравнения в конечных разностях оперируют с функциями дискретной переменной. Пусть y(k) обозначают функцию, определенную только при целых значениях k. Произвольная функция, определенная в равноотстоящие промежутки времени, может быть выражена подобным образом путем надлежащего выбора масштаба. Определим оператор сдвига Е в виде:

E[y(k)]=y(k+1) (59)

Последовательное применение этого оператора дает E²[y(k)]=E[Ey(k)]=y(k+2).

Или в общем случае

Eⁿ[y(k)]=y(k+n) (60)

для любого положительного целого числа n. Разностный оператор ∆ определяется как

∆y(k)=y(k+1)-y(k) (61).

Таким образом, последнее выражение можно переписать в виде

∆y(k)=(E-1)y(k),

Где операторы ∆ и Е связаны соотношением ∆=Е-1. (62)

∆y(k) называется первой разностью функции у(k). Разности высшего порядка определяются так:

∆²y(k) = ∆[∆у(k)] - у(k + 2) - 2у (k+l) + y(k),

∆³y(k) = ∆[∆²y(k)] = y(k + 3) - 3y(k + 2) + 3y(k + 1) - у(k)

или в общем случае,

(63)

где означают биномиальные коэффициенты. Последнее уравнение совме­стно с уравнениями (60) и (62) дает

Операторы ∆ и Е подчиняются обычным законам алгебры:

∆[су(k)] = с∆у(k),

∆^m[y(k) + z(k)] = ∆^my(k) = ∆^mz(k), (64)

∆^m∆ⁿy(k) = ∆ⁿ∆^my(k) = ∆^m+ny(k),

где с постоянная величина, а m и n положительные целые числа. Уравнение (64) остается справедливым при замене ∆ на Е. Операторы коммутативны между собой, но в общем случае не коммутативны с функ­циями:

∆[у (k) + z(k)] = y(k)∆z(k);

Оператор ∆ для дискретных функций является своего рода аналогом дифференциального оператора р = d/dt для непрерывных функций. Чтобы пояснить сказанное, рас­смотрим непрерывную функцию f(t), производная от которой равна

(65)

Если функция рассматривается только в дискретные моменты t=nT (n= 0, 1, 2, ...), оператор сдвига и разностный оператор определяются в виде Ef(t)=f(t+T),

∆f(t)= f(t+T)-f(t). (66)

Тогда

(67)

или в общем случае

. (68)

Представление дискретных систем в виде разностных уравнений.

Общий вид разностного уравнения, связывающего выход y(k) и вход v(k) дискретной системы, задается выражением

a_ny(k + n) + a_n-1y(k + n - 1) + ... + a₁y(k + 1) + a₀y(k) = b_mv(k + m) + ... + b₁v(k + 1) + b₀v(k)

(69)

или, соответственно,

[c_n∆ⁿ+c_n-1∆^n-1+...+c₁∆+c₀]y(k) = [d_m∆^m+...+d₁∆+d₀]v(k). (70)

Для линейных систем a_i, b_i, c_i, d_i не являются функциями от у или v, но они могут зависеть от k. Для линейных систем с постоянными параметрами эти коэффициенты - постоянные величины.

Используя оператор сдвига Е, уравнение (69) можно переписать в виде

(a_nEⁿ + a_n-1E^n-1 +...+a₁E + a₀)y(k) = (b_mE^m + b_m-1E^m-1 +...+b₁E + b₀)v(k) (71)

Так как вход v(k) предполагается известным, правая часть уравнения (69) представ­ляется в виде известной вынуждающей функции F(k). Для линейных систем с постоянными параметрами, коэффициенты которых являются постоянными ве­личинами, последнее уравнение вписывается символически как

А(E)y(k)=B(E)v(k)=F(k) (72)

Разностные уравнения используются при операциях с функциями дискретного переменного. Примером систем, описываемых уравнениями в конечных раз­ностях, служат вычислительные устройства, последовательностные цепи, сис­темы с элементами запаздывания.