Основные свойства линейных дифференциальных уравнений.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в форме:

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = F(t). (11)

В связи с тем, что все выражения справедливы как для систем с постоянными, так и с переменными параметрами, коэффициенты а_i могут быть в общем случае функциями времени t. Если правая часть последнего уравнение равна тождественно нулю, т. е.

(a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +…+ a₁p + a₀)y(t) = 0. (12)

то такое уравнение называют однородным. Уравнение (11) называют соответственно неоднородным дифференциальным уравнением.

Уравнение (12) может иметь не более, чем п линейно независимых решений, n объектов называются линейно зависимыми, если по крайней мере один из них можно выразить в виде линейной комбинации остальных. В противном случае объекты считаются независимыми. Необходимое и достаточное ус­ловие линейной независимости n решений уравнения (11) состоит в отличии от нуля определителя Вронского. Если у₁, у₂,... у_n - n решений уравнения, то определитель Врон­ского имеет вид

(13)

Общее решение уравнения (11) представляется как

y_н = K₁y₁ + K₂y₂ +…+ K_ny_n, (14)

где K_i — произвольные постоянные. Индекс Н указывает на то, что решение соответствует однородному уравнению.

Из последнего уравнения следует, что если известны n независимых решений, то произвольное решение этого уравнения можно представить в виде линейной комбинация n известных решений. Для систем с постоянными параметрами существует общий метод

нахождения независимых решений однородного уравнения. Для систем с переменными параметрами такого метода, к сожалению, не существует.

Общее решение неоднородного уравнения (11) имеет вид У=У_н+У_p(15), где у_н — решение (14) соответствующего однородного уравнения, у_р - произвольное решение (вне зависимости оттого, каким образом оно получено), удовлетворяющее уравнению (11) и обычно называемое частным решением неоднородного уравнения, у_н называют вспомогательным решением. Для нахождения у_р приемлем любой способ, даже «метод проб». Так как у_р не содержит произвольных постоянные то в решении у, как и в у_н, содержится n постоянных.

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка за­писывается в виде (16)

. (16)

Для удобства коэффициент при dy/dt полагаем равным единице. Коэффициент а в общем случае может зависеть от времени Данное уравнение решается пу­тем введения интегрирующего множителя . Умножим на него обе части уравнения (16):

(17)

Левая часть этого уравнения является производной по времени от , так что

, c = const. (18)

Хотя интегрирование правой части уравнения (18) порой представляет определенные трудности, изложенный метод предлагает строгую процедуру решения дифференциального уравнения вне зависимости от вида его коэффициента a(t). Ре­зультат содержит обе составляющих решения.

При вычислении ∫a(t)dt нет необхо­димости записывать постоянную интегрирования.

Пример: Решить уравнение . Интегрирующий множитель равен. Умножим это на исходное уравнение. Тогда

,