Задание 2. Получить аналитическое решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Номер задания	Уравнение	Начальные значения
1
2
3
4
5

Варианты заданий для контрольных работ.

Номер вари-анта	Номер теорети-ческого вопроса 1	Номер теорети-ческого вопроса 2	Номер задания по получению дифференциального уравнения, описывающего систему	Номер задания по получению аналитического решения дифференциального уравнения
00	1	13	1	1
01	2	14	2	2
02	3	15	3	3
03	4	16	1	4
04	5	17	2	5
05	6	18	3	1
06	7	19	1	2
07	8	20	2	3
08	9	21	3	4
09	10	22	1	5
10	11	23	2	1
11	12	6	3	2
12	13	7	1	3
13	14	8	2	4
14	15	9	3	5
15	16	10	1	1
16	17	11	2	2
17	18	12	3	3
18	19	13	1	4
19	20	14	2	5
20	21	15	3	1
21	22	16	1	2
22	23	17	2	3
23	6	18	3	4
24	7	19	1	5
25	8	20	2	1
26	9	21	3	2
27	10	22	1	3
28	11	23	2	4
29	12	17	3	5

Номер варианта определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Если этот номер больше 29, из него необходимо вычесть 30 и продолжать вычитание до тех пор, пока остаток не станет меньше 30. Полученное таким образом число и определяет номер варианта.

Пример выполнения практического задания 1. Составление дифференциальных уравнений систем автоматического управления.

Получение уравнения динамики рассмотрим на примере автоматической системы, упрощенная принципиальная схема которой приведена на рис. 1. Данная система управления широко применяется для регулирования частоты вращения различных машин и механизмов. Система может быть использована как в режиме программного управления, так и в режиме стабилизации скорости. В качестве исполнительного устройства в системе применен генератор постоянного тока Г. Возбуждение генератора осуществляется от тиристорного преобразователяТП. Управляющий сигналu_У, действующий на входе преобразователя, формируется в операционном усилителеУв зависимости от величины и знака сигнала рассогласованияu_Р- разности напряжений задающего воздействияu_Зи тахогенератораu_ТГ. Формирование сигнала управленияu_Уможет происходить по простейшему пропорциональному закону или по более сложному алгоритму (ПИ, ПД, ПИД законы регулирования и т.д.).

Взаимодействие устройств системы управления показано на функциональной схеме - рис.2. Данная схема позволяет определить входные и выходные координаты каждого элемента системы и их взаимодействие.

Рисунок 1. Принципиальная схема системы автоматического управления частотой вращения двигателя.

Рисунок 2. Функциональная схема системы автоматического управления частотой вращения двигателя.

Для получения уравнения динамики системы управления используют дифференциальные уравнения отдельных элементов. Выходной переменной двигателя Д (рис.2) является частота вращения вала двигателя n. На ее значение оказывают влияние входная переменная двигателя напряжение генератораe_Ги возмущающее воздействие - момент сопротивленияМ_С:

(5)

где k_Д- коэффициент передачи двигателя;Т_М- электромеханическая постоянная времени двигателя;Т_Я- электромагнитная постоянная времени якорной цепи.

Знак " - " в уравнении (5) означает, что момент сопротивления М_Сдействует против направления вращения вала двигателя.

Генератор постоянного тока Гпринято описывать дифференциальным уравнением следующего вида:

(6)

где k_Г- коэффициент передачи генератора;Т_Г- постоянная времени генератора.

Тиристорный преобразователь ТП по сравнению с двигателем Ди генераторомГрассматривается как безынерционное звено с коэффициентом передачиk_ТПи описывается следующим уравнением:

(7)

Операционный усилитель Уформирует закон управления, описываемый следующим уравнением:

(8)

Свойства тахогенератора ТГмогут быть описаны следующим уравнением:

(9)

Уравнение динамики системы управления отражает зависимость между входной u_З, выходнойnи возмущающейM_Cпеременными. Рассматриваемая система автоматического управления описывается следующей системой уравнений:

(10)

Запишем систему уравнений (10) в символической форме:

(11)

Преобразуем ее, приведя подобные в левой части первого и второго уравнений:

(12)

Используя метод замещения, выполним соответствующие преобразования. Подставим уравнение для в уравнение для, а полученное уравнение в свою очередь в предыдущее. Подобным же образом преобразуем третье уравнение и второе. Из второго выразими подставим в первое уравнение. Домножив обе части полученного уравнения на знаменатель из правой части и раскрыв скобки приводим систему дифференциальных уравнений (12) к следующему уравнению динамики в операторной форме:

(13)

Уравнению (13) соответствует следующее уравнение динамики:

(14)

Таким образом, уравнение (14) является уравнением динамики замкнутой системы управления частотой вращения электродвигателя.