Министерство образования и науки украины

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Методические указания

по дисциплине

"Математические основы теории систем"

(для студентов специальности 7.091.402 заочной формы обучения)

Утверждено на заседании кафедры

Автоматики и телемеханики.

Протокол № ___

от «___»___________2002 г.

Донецк, ДонГТУ

2002

Наиболее распространенной формой описания передаточных (динамических и статических) свойств автоматических систем и их элементов являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Для элемента, имеющего один входной сигнал u(t)и один выходной сигналy(t), обыкновенное дифференциальное уравнение записывается в общем случае следующим образом:

(1)

Уравнение (1) связывает неизвестную функцию y(t)и её производныеy'(t), … ,y⁽ⁿ⁾(t)с независимой переменнойtи известной (заданной) функцией времениu(t).Уравнение (1) называют уравнением динамики элемента.

Уравнение (1) может быть линейным и нелинейным. Линейным оно является в том случае, если функция Флинейна по отношению ко всем её аргументам. Если же переменныеy(t), u(t)и их производные входят в выражение функцииФв виде произведений, частных или степеней, то уравнение является нелинейным. В выражение функцииФ, кроме основных переменных, входят постоянные величины, называемые параметрами. Числовые значения параметров зависят от конструктивных данных описываемого элемента.

Для большинства реальных элементов исходное уравнение (1), составленное строго в соответствии с законами физики, оказывается нелинейным, что значительно усложняет все последующие процедуры анализа. Поэтому всегда стремятся выполнить линеаризацию исходного нелинейного уравнения и перейти от трудноразрешимого нелинейного уравнения (1) к линейному дифференциальному уравнению следующего вида:

(2)

где u(t)иy(t) - входная и выходная величины элемента или системы;

a_i, b_iпостоянные коэффициенты уравнения.

Уравнение (2) устанавливает связь между входной и выходной величиной, как в переходных, так и в установившихся режимах. Коэффициенты дифференциального уравнения называются параметрами. Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах.

Линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений с постоянными коэффициентами удобно записывать в символической (операторной) форме. Для этого вводится обозначение ; здесь символрявляется оператором дифференцирования. Тогдаk-я производная отxможет быть записана в виде:

. (3)

Уравнение (2) в символической форме будет иметь следующий вид:

(4)

Теоретические вопросы.

1. Обратная, присоединенная, функциональная и экспоненциальная матрицы.

2. Определители и их свойства. Миноры.

3. Норма матрицы и свойства норм.

4. Приведение матриц к диагональному виду. Каноническая форма Жордана.

5. Понятие технической системы. Способы описания технической системы.

6. Функциональные схемы. Получение описания в виде дифференциальных уравнений или системы дифференциальных уравнений.

7. Понижение порядка системы дифференциальных уравнений. Описание системы в пространстве состояний.

8. Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений. Линеаризация разложением в ряд Тейлора.

9. Решение системы дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.

10. Решение системы дифференциальных уравнений. Формула Коши.

11. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами и его решение.

12. Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и ее решение.

13. Понятие устойчивости в смысле Ляпунова. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость тривиального решения.

14. Признаки устойчивости для однородной, неоднородной систем и для системы с постоянными коэффициентами.

15. Фазовые пространства и фазовые траектории автономных систем. Особые точки, изолированные замкнутые траектории и сепаратрисы. Состояние равновесия и его связь с фазовой скоростью.

16. Фазовые траектории систем второго порядка для случаев, когда характеристические числа действительны, различны и одного знака.

17. Фазовые траектории систем второго порядка для случаев, когда характеристические числа одинаковы.

18. Фазовые траектории систем второго порядка для случаев, когда характеристические числа действительны и разных знаков.

19. Фазовые траектории систем второго порядка для случаев, когда характеристические числа комплексно сопряженные.

20. Фазовые траектории систем второго порядка для случаев, когда характеристические числа – мнимые.

21. Числовые и функциональные ряды. Критерии сходимости этих рядов.

22. Гармонический(спектральный) анализ. Ряды Фурье.

23. Интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье.