8. Функциональное пространство.

Здесь рассмотрим такую систему из nфункцийf₁(t),…,f_n(t), определенных на интервале (а,b), что ни одна функцияf_i(t) не является линейной комбинацией любых других (n-1) функций из этого интервала.

Скалярное произведение.

. Для комплексных функций действительного переменногоt:.

Норма функция.

Норма f= ||f||^1/2= <f,f>^1/2= []^1/2.Нормированной функциейназывается функция, норма которой равна единице.

Ортогональные функции.

Две функции f(t) иg(t), ортогональны на (а,b), если <f,g> = 0. Система нормированных функцийφ₁(t),φ₂(t) называетсяортонормированной, если < φ_i,φ_j> =δ_ij.

Ортогональные функции в качестве базиса функционального пространства.

Рассмотрим бесконечную ортогональную систему функций φ₁(t),φ₂(t),… в качестве координатных векторов, то по аналогииf(t) вектор этого пространства, а разложение:

С_k = <f, φ_k>.

Если F(t) апроксимируется линейной комбинациейnнормированных функций

(a<t<b), то получится аппроксимация:a_k=c_k. Затем (*) – неравенство Бесселя.

Заданная ортонормированная система φ₁(t),φ₂(t),…,φ_n(t) называетсяполной, если производная кусочно-непрерывнаяf(t) может апроксимироваться в среднем этой системы со сколь угодно малой ошибкой при большом количестве ее членов, т.е.

или

Ортогональная система с «весом».

Вводим весовую функцию ω(t):. Эта функция выбирается для выделения области на (a,b). Говорят, чтоφ_k(t) ортонормированны относительно данной «весовой» функции. Коэффициенты Фурьеf(t)определяются как:

.

Литература:

• Чемоданов Б.К. «Математические основы теории автоматического регулирования», Москва 1977 г.

• Коршунов Ю.М. «Математические основы кибернетики», Москва 1987 г.

• Ту Ю. «Современная теория управления», Москва 1971 г.

• + лекции по Высшей математике за первый курс (преподаватель: Рощина А.И.)

14