2. Определители.

Определитель матрицы А записывается как и его значение считается равным (а₁₁а₂₂–а₁₂а₂₁). Его порядок равен числу строк квадратной матрицы или столбцов.

Свойства определителя:

1. Определитель равен единице, если все элементы на главной диагонали (а₁₁,а₂₂,а₃₃,…,а_nn) равны единице, а остальные нулю.

2. Определитель равен нулю, если равны нулю все элементы какой-либо строки или если равны или пропорциональны соответствующие элементы произведения двух строк.

3. Величина определителя остается постоянной по модулю при перестановке его строк.

4. Знак определителя изменяется при перестановке двух его строк.

5. Если элементы некоторого ряда имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

.

6. Определитель не изменяется, если к элементам некоторого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и тоже число.

.

2.1. Миноры и алгебраические дополнения.

Минором порядка S данной матрицы А (М)называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении выбранныхSстрок иSстолбцов.

Если матрица А квадратная матрица, то вводится определение дополнительного минора.

Дополнительным минором ()называется определитель матрица, оставшийся после вычеркиванияSстрок иSстолбцов.

Пр.:

М =-4; =-24

Алгебраическое дополнение минора– это дополнительный минор, умноженный на (-1)^р.

А = (-1)^рּ,

где Р – сумма номеров строк и столбцов данной матрицы, входящих в минор М.

Р = 2 + 3 + 2 + 3 = 10,

А = (-1)¹⁰ּ(-24) = -24.

Каждый элемент a_ijматрицы, является минором первого порядка, а дополнительным минором является определитель (n-1)-го порядка, который называетсяминором a_ijи обозначаетсяМ_ij.

Разложение методом Лапласа:

Разложение по элементам столбца: ,j=1, или 2,…, или (n);

Разложение по элементам строки: ,i=1, или 2,…, или (n).

Метод опорного элемента.

Выбираемa_ijв качестве опорного элемента. Берем элемент a_ik, расположенного в той же строке, а также элементa_qj, расположенного в одном столбце с a_ij. Элементы a_qj, a_ik, a_ijиспользуются затем для образования определителя второго порядка. Используя в качестве элементов определители второго порядка, а множителем можно представить исходный определитель (n– 1)-го порядка. Расположение новых элементов определяется посредством вычитание единицы из каждого индекса у элемента определителя второго порядка, лежащего на одной диагонали с опорным элементом, если он лежит ниже опорного; индексы остаются неизменными, если диагональный элемент лежит выше опорного.

Произведение определителей:

, если С=АВ

Производная от определителя:

.

2.2. Присоединенная и обратная матрица.

Союзной или присоединенной матрицейназывают квадратную матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов и транспонирования.

А^*=.

Матрица А^-1называетсяобратной матрицей к матрице А, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной и выполнялось условие АА^-1= А^-1А =I.

Невырожденной или несобственной матрицейназывается матрица, определитель которой отличен от нуля.

Производная от обратной матрицы.

Для значения t, при котором А(t) дифференцируема и существует обратная матрица:.

Специальные обратные матрицы:

а) АА^-1= 1 (матрица совпадает со своей обратной матрицей).

б) А – ортогональная матрица, если А^-1= А^т.

в) А – унитарная, если А = {(А^*)^т}^-1(матрица, обратная матрице А, равная матрице, сопряженной с матрицей А).