План:

1. Основные понятия……………………………………………………ст.2

2. Определители………………………………………………………...ст.4

3. Векторы и линейное векторное пространство……………………..ст.6

4. Характеристические числа и характеристические векторы……….ст.8

5. Матричные преобразования…………………………………………ст.9

6. Билинейная и квадратичная формы…………………………………ст.9

7. Матричные многочлены. Бесконечные ряды и функции матриц…ст.10

8. Функциональное пространство……………………………………...ст.12

9. Список литературы……………………………………………………ст.14

1. Основные понятия.

Система линейных уравнений

а₁₁х₁ +а₁₂х₂ +а₁₃х₃ +…+а_1nх_n =у₁

а₂₁х₁ +а₂₂х₂ +а₂₃х₃ +…+а_2nх_n =у₂

_{…………………………………………………………}

а_m1х₁ +а_m2х₂ +а_m3х₃ +…+а_mnх_n =у_m

будет некоторое множество связей между переменными х₁,х₂,…,х_nиу₁,у₂,…,у_m. Эти связи, или линейное преобразование переменныххв переменныеу, полностью характеризуются упорядоченным набором коэффициентовa_ij. Если это множество коэффициентов обозначить через А и записать в виде

, то, как будет показано, посредством введения определения «произведение Ах» систему линейных уравнений можно записать в виде: Ах = у. Несомненно, приведенное выражение по виду значительно проще, чем соответствующая система линейных уравнений. Это одна из соответствующих причин использования матриц.

Столбцы матриц называются векторами-столбцами, а строки матрицы -векторами-строками. Матрица, содержащаяmстрок иnстолбцов, называется (m×n) матрицей. Квадратная матрица (m =n), является матрицаn-го порядка.

1.1. Основные типы матриц.

• Матрица типа (m×1) называетсяматрицей-столбцомиливектором-столбцом, т.к. она состоит из одного столбца иmстрок.

.

• Матрица типа (1×n), содержащая одну строку элементов, называетсяматрицей строкой.

.

• Диагональной матрицейназывается квадратная матрица, элементы которой, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

.

• Единичной матрицейназывается диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.

.

• Транспонирование матрицы А– операция, при которой ее строки и столбцы меняются местами (А^т).

• Матрица, все элементы которой тождественно равны нулю, называется нулевой матрицей.

1.2. Специальные типы матриц.

• Квадратная матрица с действительными элементами называется симметрической, если А = А^т.

• Действительная квадратная матрица называется кососимметрической, если А = -А^т(нулевые элементы по главной диагонали).

• Если элементы матрицы А комплексные (a_ij= a_ij + ib_ij), то комплексно сопряженная матрица В содержит элементы b_ij= a_ij - ib_ij(B=A^*).

• Матрица называется сопряженной, если (А^*)^Т.

• Если А = А^*, то матрица являетсядействительной.

• Если А = -А^*, то матрица А –мнимая.

• Если А = (А^*)^Т, то матрица А –эрмитова матрица.

• Если А = -(А^*)^Т, то матрица А –косоэрмитоваматрица.

1.3. Простейшие операции.

• Сложение матриц.

Если матрицы А и В одного порядка (m×n), то суммой служит матрица С = А + В, элемент которой определяется какc_ij=a_ij+b_ij,;.

Свойства: А + В = В + А (коммутативность);

А + (В + С) = (А + В) + С (ассоциативность).

• Вычитание матриц.

Разность матриц одного порядка (m×n) равна матрицеD= А – В, элементы которой определяются как: d_ij=a_ij-b_ij,;.

• Матрицы А и В одинакового порядка равны, если равны их соответствующие элементы: a = b.

• Произведение матриц.

Произведение матриц А и В может рассматриваться как матрица С, где С = АВ, или [С_ik] = [a_ijb_jk]. В общем случае: С = АВ = [a_ikb_jk].

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, то матрицы А и В согласованы по форме, а если матрицы А и В равны (А = В), т.е. АВ = ВА, то говорят, что эти матрицы коммутативны.

• Умножение матриц на скалярную величину.

При левом или правом умножении матрицы на скалярную величину R, каждый элемент данной матрицы умножается на этот скалярR. Произвольный элемент произведенияRAравенRa_ij.

• Умножение транспонированных матриц.

В^тА^т= (АВ)^т.

В общем случае: С^т= (АВ)^т= В^тА^т.

• Умножение на диагональную матрицу.

Иногда удобно сконструировать матрицу из элементов, являющихся матрицами.

.

Матрица В представляется аналогично.

Тогда произведение матриц: .

Число выделенных в матрице А столбцов должно равняться числу выделенных в матрице В строк.

• Дифференцирование матриц.

Производная от А(t) по переменнойtопределяется как:

=.

Производная от суммы двух матриц: [A(t) +B(t)] =(t) +(t).

Производная от произведения двух матриц: [A(t)B(t)] =(t)B(t) +A(t)(t).

• Интегрирование матриц.

Подобно определению производной от матрицы, интеграл от матрицы определяется как матрица, образованная из интеграла от элементов исходной матрицы.

dt.