Получение начального допустимого базисного решения.

Общий вид системы управлений имеющей допустимое базисное решение , получим и (7), переписав его:

; α_i0≥0,. (10)

Здесь каждая переменная, принятая за базисную входит только в одно из уравнений с коэффициентом «+1». Если такие переменные найдутся в каждом из уравнений системы (1), то они и составят первоначальный допустимый базис.

Если в некоторых уравнениях таких переменных нет, то поступаем так. Выписываем уравнения с переменными, которые можно принять за базисные. Обозначим их . В остальныхm-sуравнениях вводим искусственные базисные переменные,k=s+1,…m≥0.

(11)

Чтобы полученная система совпадала с исходной в окончательном решении должны обратится в нуль. Для того их вводят в выражения дляq^/с достаточно большими коэффициентами.

Двойственная задача.

Пусть в прямой задаче имеем свободные переменные х₁,…,х_iи задача сформулирована в виде: максимизироватьпри условиях:,. (12)

Этой задаче соответствует матрица:

(13)

В двойственной задаче за свободные переменные выберем u₁,…,u_mи сформулируем её в виде: минимизировать:(14) при условиях:,. (15). Этой задаче соответствует матрица вида:

(16)

Как видим, матрица (13)- транспонированная матрица (16), значит прямая, и двойственная задача могут быть описаны одной матрицей, однако между прямыми и двойственными переменными должно быть установлено соответствие:

. (17)

Если в матрице заданы положительные элементы первой строки, и первого столбца, то матрица соответствует оптимальному решению как прямой, так и двойственной задаче. При этом .

Нелинейное программирование.

Классическая теория оптимизации основана на использовании дифференциального исчисления для нахождения точек максимума и минимума (экстремумов) функции в условиях наличия и отсутствия ограничений.

Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Рассмотрим условия существования экстремумов функции и переменных , предполагая, что первая и вторая производныенепрерывны.

Теорема 1:

Если точка является экстремальной точкой функции, то.

Если - точка максимума (минимума), то(), для всехпри малыхh_j.

По теореме Тейлора при 0≤Θ≤1 верно разложение.

Предположим, что - точка минимума. Предположим, что, тогда для некоторогоj, либо.

Выберем знак так, чтобы, остальные=0. Тогда получим, что, что противоречит определению точки минимума. Значит,.

Это условие является необходимым, но не достаточным. Точки, удовлетворяющие условие будем называть стационарными.

Теорема 2:

Стационарная точка является экстремальной, когда матрица Гессе Н в точкиоказывается, определена положительно (т. минимума) или отрицательно (т. максимума).

Из предыдущей теоремы: . Пусть- точка минимума, тогда по определению.

Для всех ненулевых , это означает, что, т.к.- квадратичная форма, то рассматриваемая величина положительна тогда и только тогда, когда- положительно определенная матрица.

Матрица Гессе - матрица с элементами. Еслинеопределенна, то- седловая точка.

Если полуопределена, то в точке может быть экстремум, но для установления этого нужно рассматривать члены разложения в ряд Тейлора более высокого порядка. В некоторых случаях можно сделать вывод об отсутствии экстремума. Сформулируем теорему дляf(g) одной переменой.

Теорема 3:

Если в стационарной точке у₀первые (n-1) производныеf(y) равны 0, аf⁽ⁿ⁾(y)≠0, то приy=y₀функция:

1. Имеет точку перегиба, если h- нечетное,

2. Экстремальную точку, если h- четное.

При - максимум, а при- минимум.