Оптимальное решение

С точки зрения практического использования результатов решения задач ЛП классификация переменных, предусматривающая их разделение на базисные и небазнсные, не имеет значения и при анализе данных, характеризующих оптимальное решение, может не учитываться. Переменные, отсутствующие в столбце “Базисные переменные ”, обязательно имеют нулевое значение. Значения остальных переменных приводятся в столбце “Решение”. При интерпретации результатов оптимизации в нашей задаче нас, прежде всего, интересует количество времени, которое закажет наша фирма на радио и телевидение, т. е. значения управляемых переменных X₁ иX₂ . Используя данные, содержащиеся в симплекс-таблице для оптимального решения, основные результаты можно представить в следующем виде:

Управляемые переменные	Оптимальные значения	Решение
X1	1000/55	Время, выделяемое фирмой на телерекламу
X2	91/11	Время, выделяемое фирмой на радиорекламу
Z	2455/11	Прибыль, получаемая от рекламы.

Заметим, что Z=X₁ + 25X₂=¹⁰⁰⁰/₅₅+ 25 * 9¹/₁₁= 245⁵/₁₁. Это решение соответствует данным заключительной симплекс-таблицы.

Табличный метод.

Обозначим через ,базисные переменные, а через,свободные. Выразив целевую функцию и базисные переменные через свободные, сформулируем задачу в следующем виде: максимизировать(7) при условных,,,(8). Тогда задачу можно представить следующей матрицей:

(9)

Замечая, что столбец коэффициентов α_{i 0},i≠0 представляет собой базисное решение при базисе, а строкаα_0j,j≠0 представляет собой взятые с обратным знаком коэффициенты при свободных переменных в выраженииq^/, приходим к выводу, что базисное решение допустимо еслиα_{i 0}≥0,i≠0. Еслиα_0j≥0,j≠0, то она является и оптимальной. При оптимальном базисном решении.

Рассмотрим наш пример:

Матрица коэффициентов в виде таблиц:

а)

	1
q/	0 2	-1 1	1 -2
	2 4	-2 2	1 -4
	2 2	1-1	-2 -2
	5 -2	1 -1	1 2

б)

	1
q/	2 1	1 -1/3	1 -1/2
	6 3	2 -1	3 1
	2 2	1 -2/3	-2 2/3
	3 1	-1 -1/3	-1 -1/3

в)

	1
q/	3	2/3	1/3
	9	1	1
	4	1/3	2/3
	1	-1/3	1/3

т.к α_0iотрицательно, то оптимум не найден, значит переменнуюх, следует сделать базисной. Если отрицательными окажутсяα_0jпри нескольких свободных переменных, то в базисном можно переводить любую из них.

Определим каждую из базисных переменных. Нужно сделать свободной ту, которая быстрее обратится в нуль при увеличении х₁. Это будет та базисная переменнаях_i, для которой коэффициенты в столбцеα_i1>0 и отношениенаименьшее. Это переменнаях_n.

Коэффициент α_i1стоящий на пересечении столбцах₁и строкиx_nназовем генеральным. Пустьλ =1 выделим коэффициенты, стоящие на строкех₁и столбцеx_n. Теперь заполним нижние правые углы клеток:

1. в клетку α_i1заполняем λ.

2. в клетках выделенной строки записываем верхние коэффициенты, умноженные на + λ.

3. В клетках выделенного столбца записываем верхние коэффициенты, умноженные на - λ.

4. В остальных клетках записываем произведение выделенных коэффициентов, на пересечении которого стоит данная клетка.

Заполним таблицу Б:

1. Строку и столбец соответствующие новым свободной и базисной переменой, заполняем нижними коэффициентами выделенной строки и столбца таблицы а.

2. В остальные клетки записываем суммы коэффициентов стоящих в соответствующих клетках таблицы а.

Оптимальное решение не найдено – повторим процедуру, заполняя таблицу b. Теперь коэффициентыα_0j,j≠0 положительны, и она даёт оптимальное решение, которое находим по столбцу свободных членов:x₁=4;x₂=1;x₃=9;x₄=x₅=0;;.