Оглавление:

1. Линейное программирование………………………………………….ст. 2

2. Нелинейное программирование……………………………………….ст.13

3. Элементы динамичного программирования………………………….ст.19

4. Вариационное исчисление……………………………………………..ст.23

5. Список литературы……………………………………………….……..ст.34

Линейное программирование.

Постановка задачи

Термин и линейное программирование связывается со следующей задачей. Дана система линейно независимых уравнений с неизвестными х1,….,х2 – система ограничений задач и линейного программирования:

, (1)

где b_i≥0. Требуется найти неотрицательное значение переменных (х_i≥0), которые удовлетворяют управлениям (1) и обращают в минимум целевую функциюq=c₁x₁+…+c_nx_n(2), называемой линейной формой.

Матричная запись:

(3)

Если m<n, то система (1) имеет бесчисленное множество решений. Любое решение системы (1), гдеx_i≥0 будем называть допустимым решением. Среди допустимых решений нужно выбрать такое, которое обращает в минимум целевую функцию.

В ограничения (1) могут входить не равенства a_j1x₁+..+a_jnx_n≤b_jили a_j1x₁+..+a_jnx_n≥b_jвведя дополнительную переменнуюx_n+jтак, чтобы имело место: a_j1x₁+..+a_jnx_n+x_n+j=b_jилиa_j1x₁+..+a_jnx_n-x_n+j=b_jчто не меняет существа задачи. Задача максимизации сводится к рассмотренной путем замены знака целевой функции.

Базисом называют набор mпеременных таких, что определить, составленный из коэффициентов, при этих переменных не равен нулю. Эти переменных называют базисными. Если положить все свободные переменные равными нулю и решить полученную системуmуравнений сmнеизвестными, то получим базисное решение. Допустимыми базисными решениями являются такие, которые дают неотрицательные значения базисных переменных.

Геометрическая интерпретация

g=x₂-x₁(4)

при ограничениях

. (5)

Удобнее решить задачу максимизации q^/= -q= x₁-x₂. (6)

Имеется m=3 базисных переменных иn-m=2 свободных. Выразим базисные переменные через свободные .

Область допустимых значений: x_i≥0,. Построим прямыеx₃,x₄,x₅на плоскостиx₁,x₂:

Для каждой прямой x_iпеременныхx_i=0. В точках пересечения 2-х прямых в нуль обращаются две переменные, что соответствует базисному решению. Вершины многоугольника допустимых решений соответствуют допустимым базисным решениям. Выражение (6) определяет прямую, причём увеличениеq^/соответствует перемещению прямой в направлении стрелки. Эта прямая должна проходить через область допустимых решений. Максимумq^/получим в крайнем положении прямой (пунктир). Таким образом, решение, обращающее в максимум целевую функциюq^/, обязательно лежит среди допустимых базисных решений. Т.к. их число, конечно, то можно найти все допустимые базисные решения и для каждого из них вычислить значениеq^/. Окончательным решением будет, то для которогоq^/будет максимально.

Наиболее распространённый метод такого перебора решений – это симплекс – метод.

Алгебра симплекс – метода.

Существо метода состоит в следующем. Находим какое-нибудь базисное решение. Далее проверяем, не достигнут ли уже максимум целевой функции. Если нет, то ищем новое допустимое базисное решение, но не любое, а такое, которое увеличивает значение q^/. Затем процедуру повторяем. Для перехода к новому допустимому базисному решению одну из свободных переменных следует сделать базисной. При этом она станет отличной от нуля и будет возрастающей. Если какая либо свободная переменная входит в целевую функцию со знаком «+», т.е. при её увеличении целевая функция увеличивается, то максимум не достигнут и данную переменную следует сделать базисной (отличной от нуля).