Второй метод Ляпунова.

Второй, или прямой, метод Ляпунова позволит исследовать устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравнений, не производя решение самих уравнений

, (20)

где: ,. (21)

При этом полагаем, что функции f_i(x₁,…,x_n) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой выразимой областиς: ║х║≤μn-мерного пространства.

1. Законоопределенные и законопостоянные функции.

Рассмотрим функции V(x₁,…,x_n) определенные и непрерывные в областиς:║х║≤μи обладающими в этой области непрерывными частными производными по переменнымx₁,…,x_n.

Функция V(x) называется знакоположительной (знакоотрицательной) в указанной области ς, если для любогоxς имеемV(x)≥0 (V(x)<0), причемV(x)=0 тогда и только тогда, когдаx=0.

Функции V(x) первого типа называются знокопостоянными, второго - знакоопределенными.

Пусть функция V(x) является квадратичной формой, т.е.. (22)

Функция V(x) является определенно положительной (определенно отрицательной), если положительно определена (отрицательно определена) квадратичная форма (22). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры ее матрицы строго положительны.

Дадим знакоположительной функции V(x) геометрическую интерпретацию. Для простоты рассмотрим функцию двух переменныхV(x₁, x₂). На плоскостиx₁x₂ линия V(x₁, x₂)=с, гдес– некоторое число, представляющее собой правило, содержащую внутри начало координат (рис.2).

Пусть ξ(t) – некоторое решение системы (20), удовлетворяющее начальному условиюξ(t₀)=x.

Полной производной по времени tфункции V(x) в силу системы (1) называется функция, или(23)

Из формулы (4) следует, что производная в силу системы (20) не зависит от выбранного решенияξ(t), а является функцией точки x.

Если ввести обозначения , то выражение (23) можно переписать в виде. (24)

Производная в силу системы (20) представляет собой скалярное произведение вектораgradVна вектор фазовой скоростиf(x).

Положительно определенные функции V(x), производные которых в силу системы (20) являются отрицательно определенным или знакоотрицательными называются функциями Ляпунова.

2. Теорема Ляпунова об устойчивости.

Теорема 7:Если для системы уравнений (20) существует положительно определенная функцияV(x), производная которой в силу системы (20) знакоотрицательна, то тривиальное решение системыx(t)≡0 системы (20) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство:

Возьмем произвольное число ε>0 и рассмотрим множество значенийх, удовлетворяющих соотношению: ║х║= ε.

Обозначим: (25)

- точная нижняя грань функцииV(x) по всемх, удовлетворяющих ║х║= ε.

Т.к. V(0)=0, то можно указать такуюδ-окрестность начала координат вn-мерном пространствеx₁,…,x_n, чтоV(x)<α, если ║х║< δ. (26)

Рассмотрим некоторое решение ξ(t) системы (20), удовлетворяющее начальному условию: ║ξ(t₀)║< δ. ФункцияV(ξ(t)) будет невозрастающей функциейtвдоль этого решения, т.к. производная в силу любыхt>t₀ выполняется неравенство:

V(ξ(t)) ≤ V(ξ(t₀)) <α. (27)

Покажем, что для любых t>t₀ справедливо неравенство: ║ξ(t)║<ε. (28)

Пусть для некоторого момента времени t₁>t₀ выполняется равенство ║ξ(t₁)║=ε₁, тогда. (29)

Это противоречит неравенству (27).

Из доказательства теоремы следует способ определения по заданному t>0 такого числаδ>0, что ║ξ(t)║<ε, если приt₁=t₀ справедливо неравенство ║ξ(t₀)║< δ. Для этого по заданному числуε>0определяют, а затем выбираютδ>0 так, чтобы V(ξ(t₀)) <αдля всехξ(t₀) удовлетворяющих условию ║ξ(t₀)║< δ.

3. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Теорема 8:Пусть для системы дифференциальных уравнений (1) существует положительно определенная функцияV(x), производная которой в силу системы (20) отрицательно определена. Тогда тривиальное решениеx(t)≡0 системы (20) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Доказательство:

Асимптотическая устойчивость тривиального решения означает, что:

1. тривиальное решение x(t)≡0 устойчиво;

2. если в начальный момент времени t₀некоторое решениеξ(t) удовлетворяет неравенству ║ξ(t₀)║<, то.

Устойчивость тривиального решения следует из предыдущей теоремы.

Рассмотрим произвольное нетривиальное решение ξ(t) системы (20), удовлетворяющее приt₁=t₀ неравенству ║ξ(t₀)║<, и покажем, что.

Получим поведение функции V(x) вдоль этого решения. Т.к. производная функцииV(x) в силу системы (20), то функцияV(x) моментально убывает вдоль решенияξ(t) при возрастанииt. Эта функция ограничена снизу, т.к.V(x)≥0. Всякая монотонно убывающая, ограниченная снизу функция имеет предел, следовательно существует предел:. (30)

Пусть α>0, тогда ║ξ(t)║≥β>0, для всехt₁≥t₀.

Если бы существовала последовательность значений {t_k}→ +∞такая, что (║ξ(t_k)║≥β>0 для всехt₁≥t₀приk→∞).

║ξ(t_k)║ → 0 приk→∞, тоV(ξ(t_k)) → 0 приk→∞. Это противоречит утверждению, чтоα>0.

В силу отрицательность определенности производной из уравнения ║ξ(t)║≥β>0 следует, что, (31)

где Y>0 – некоторое действительное число, тогда

. (32)

Из интеграла (32) получим:

. (33)

При достаточно большом tбудет справедливо неравенство (ξ(t))<0, что противоречит условию положительной определенности функцииV(x).

Следовательно: . (34)

Докажем, что . Пусть существует последовательность {t_k}→∞такая, что.

Тогда , что противоречит равенству (34). Следовательно ║ξ(t)║ → 0 приt=t₀.

4. Теорема Ляпунова о неустойчивости.

Теорема 9:Если для системы уравнений (20) существует непрерывная функцияV(x), удовлетворяющая условиюV(0)=0, производная которой в силу системы (20) знакоопределенная, причем в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых знак функцииV(x) совпадает со знаком ее производной, то тривиальное решение неустойчиво в смысле Ляпунова.

Доказательство:

Пусть множество точек х, удовлетворяющих неравенству ║х║<μ, является областью знакоопределенной производнойфункцииV(x) в силу системы (20). Покажем, что как бы ни было мало числоδ>0. В этом случае всегда имеется решение ξ(t) системы (20), обладающее следующими свойством:

Найдется такой момент времени t, при котором будет справедливо неравенство ║ξ(t₁)║≥ε, несмотря на то, что в начальный момент времениt=t₀ выполнялось неравенство ║ξ(t₀)║< δ. Это и будет означать неустойчивость тривиального решения.

Выберем ε=μ. Для определенности наложим. Выберем начальную точкуξ(t₀) так, чтобыV(ξ(t₀))> 0. По условию задачи такой выборξ(t₀) всегда возможен. Рассмотрим теперь решениеξ(t), удовлетворяющее начальному условию. Т.к. производнаявдоль решения ξ(t), то функцияV(ξ(t)) возрастает вдоль этого решения. Следовательно:V(ξ(t)) ≥V(ξ(t₀)) приt>t₀. (35)

Из неравенства (35) получим, что решение ξ(t) не приближается к началу координат, т.е. ║ξ(t)║≥α>0, (36)

т.к. - определенно положительная функция, то в областиα≤║х║≤μпроизводнаяудовлетворяет неравенству:.

Покажем, что найдется такой момент времени t₁, для которого ║ξ(t₁)║≥μ. Действительно, пусть для всех значенийt[t₀,∞) справедливо неравенство ║ξ(t)║<μ, но

. (37)

Из формулы (37) следует, что функция V(ξ(t)) неограниченно возрастает приt→ ∞. Получим противоречие, т.к. из неравенства ║ξ(t)║<μследует ограниченностьV(ξ(t)) для любыхt.