Устойчивость неоднородной системы.

Теорема 4:Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений (ЛНСДУ) устойчива (асимптотически устойчива) тогда и только тогда, когда устойчива (асимптотически устойчива) соответствующая однородная система уравнений.

Доказательство:

Пусть однородная система (8) устойчива. Покажем, что в этом случае будет устойчива и неоднородная система (7), т.е. будет устойчиво любое ее решение.

Пусть x=ψ(t) – некоторое решение системы (2). Исследуем на устойчивость. Рассмотрим норму разности ║ψ(t) -φ(t)║, гдеφ(t) – некоторое другое решение системы (2) с начальным условиемφ(t₀), удовлетворяющим неравенству:

║ψ(t₀) -φ(t₀)║ <δ. (11)

Разность двух решений ψ(t) -φ(t) неоднородной системы (7) является решением однородной системы (8). По условию теоремы однородная система (8) устойчива, т.е. выполнено неравенство (11), то для всехt≥t₀ справедливо неравенство ║ψ(t) -φ(t)║ <ε, что и означает устойчивость решенияx=ψ(t) неоднородной системы.

Критерий Гурвица.

Рассмотрим полином:

P(λ) = a₀ λⁿ + a₁ λ^n-1 +…+a_n (n ≥ 1) (12)

Будем полагать, что a_i – действительные числа, получимa₀>0. В общем случае корни полинома P(λ) могут быть комплексными числами и полиномP(λ) может рассматриваться как функция комплексного переменногоλ=a+iβ. Такой полином называется стандартным.

Стандартным полиномом называется полиномом Гурвица или Гурвицевым полиномом, если действительные части всех корней отрицательны, т.е. все корни расположены в левой полуплоскости:

Re λ_i < 0 (i = 1, 2,…, n). (13)

Теорема 5:Если стандартный полином есть полином Гурвица, то все его корни положительны.

Доказательство:

Пусть полином (12) имеет комплексные корни λ_m= -a_m+iβ_m(m= 1, 2,…, μ,a_m>0), причем их кратности соответственно равные₁,е₂,…,е_μ. Но для полинома с действительными коэффициентами каждому комплексному корню соответствует сопряженный корень, причем той же кратности. Таким образом, числотак же будут корнями полинома P(λ) с кратностями е₁,е₂,…,е_μ.

Пусть действительные корни полинома будут λ_n= -Y_n(n= 1, 2,…,υ),Y_n>0 и их кратности соответственно равны е_n. Тогда полиномP(λ) можно разложить на линейные множители, т.е. записать в виде:

Из разложения следует, что коэффициенты a_iполиномаP(λ) положительны.

Для полинома первой и второй степени необходимое условие является также достаточным.

Для полинома третьей и выше степени это условие достаточным не будет.

Пусть имеется стандартный полином Гурвица P(λ) =a₀λⁿ+a₁λ^n-1 +…+a_n.

Построим полином P^*(λ) следующим образом:

P^*(λ) = (-1)ⁿP(-λ) = a₀ λⁿ - a₁ λ^n-1 +…+(-1)ⁿ a_n. (14)

Все корни полинома P(λ) расположены в левой полуплоскости, поэтому полином P^*(λ) имеет все корни в правой полуплоскости.

Пусть с> 0 – некоторое положительное число.

Полином: Q(λ) = (λ+c)P(λ) +λP^*(λ) (15) называется полиномом, присоединенным к полиномуP(λ). Степень полиномаQ(λ) на единицу выше, чем степень P(λ).

Лемма 1:

Для каждого полинома Гурвица его присоединенные полиномы так же являются стандартными полиномами Гурвица.

Лемма 2:

Каждый стандартный полином Гурвица степени выше первой является присоединенным для некоторого стандартного полинома Гурвица более низкой степени.

Если полином Q(λ) =A₀λⁿ⁺¹-A₁λⁿ +…+A_n+1– стандартный полином Гурвица степениn+ 1, то стандартный полином ГурвицаP(λ) степениn, для которого полиномQ(λ) является присоединенным, определяется выражением:

, (16)

где .

Из лемм следует, что для любого стандартного полинома Гурвица P(λ) степениnможно построить как стандартный полином ГурвицаQ(λ) степениn+ 1, который будет присоединенный к полиному P(λ), так и стандартный полином ГурвицаR(λ) степениn+1, для которого полиномP(λ) будет присоединенным.

Построим пространство полиномов Гурвица μ = {P(λ)}. Это пространство представляет собой объединение пространств μ_n, соответствующих полиномам Гурвица различных степеней.

Согласно леммам, если полином P(λ)μ_n, то присоединенный к нему полиномQ(λ)μ_n+1, и обратно, существует такой полиномR(λ)μ_n-1, для которого полиномP(λ)μ_nявляется присоединенным.

Пусть P(λ) =a₀λⁿ+a₁λ^n-1 +…+a_n– некоторый многочлен, причемa_i – действительные коэффициенты иa₀>0 образуют матрицу размераn×n

(17)

Эта матрица строится следующим образом: по главной диагонали откладываются a_1,…,a_n. В право по строке от этих коэффициентов расположены коэффициенты с убывающими номерами, влево - с возрастающими.

При этом полагается a_i=0, еслиi<0 илиi>n. Такая матрица М называется матрицей Гурвица. Главные диагональные миноры будут иметь вид:

(18)

Теорема 6:Для того, чтобы стандартный полиномP(λ) был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица были положительны, т.е.Δ_k> 0 (k= 1, 2,…,n). (19)

Условие (19) называется условием Гурвица.