Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекции по МОТС / лекции МОТС / Теория устойчивости.doc
Скачиваний:
131
Добавлен:
15.02.2014
Размер:
308.74 Кб
Скачать

Устойчивость однородной системы.

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений:

, (6)

где aij(t),fi(t) – непрерывные функции на полуинтервале [b≤t ≤∞).

В векторной форме систему (6) можно представить следующим образом:

, (7)

где:

,,.

Однородная система, соответствующая (7), имеет вид: (8).

Эта система имеет тривиальное решение x(t)≡0.

Устойчивость произвольного решения связывают с устойчивостью тривиального решения.

Теорема 1:Любое решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво ее тривиальное решение

Доказательство:

Докажем, сначала достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение x(t)≡0 устойчиво. Это означает, что для любогоε>0 существуетδ>0 такое, что для любого решениях = ξ(t), удовлетворяющего приt=t0 неравенству ║ξ(t0)║<δ, будет справедливо неравенство ║ξ(t)║< εдля всех значенийt≥t0.

Пусть x=ψ(t) – произвольное решение. Докажем его устойчивость. Обозначим черезx=φ(t) другое произвольное решение, удовлетворяющее приt=t0условию:

║ψ(t0) -φ(t0)║ <δ. (9)

Из свойств однородной системы следует, что разность ψ(t) -φ(t) =ξ(t) – также решение системы (8), причем в силу устойчивости тривиального решения получим неравенство ║ψ(t) -φ(t)║ <εприt=t0, что означает устойчивость решенияx=ψ(t). Достаточность доказана.

Выполним доказательство необходимости условия теоремы. Пусть решение x=ψ(t) устойчиво. Покажем, что тогда будет устойчиво тривиальное решение. Устойчивость решения означает, что для произвольного решения φ(t), удовлетворяющего приt=t0 неравенству ║ψ(t0) -φ(t0)║ <δ, будет справедливо неравенство ║ψ(t) -φ(t)║ <εприt≥t0.

Пусть х = ξ(t) – решение системы (8), удовлетворяющее условию ║ξ(t0)║<δ. Запишем это решение в виде:ξ(t) = [ξ(t) +ψ(t)] -ψ(t). Сумма решений ξ(t) +ψ(t) представляет собой также решение системы (8), причем при t=t0справедливо неравенство

║[ξ(t) +ψ(t)] -ψ(t)║ <δ. Тогда из устойчивости решенияψ(t) следует, что приt>t0 будет выполняться неравенство:

║[ξ(t) +ψ(t)] -ψ(t)║ = ║ξ(t0)║<ε, (10)

что и означает устойчивость тривиального решения. Этим доказана необходимость условия теоремы.

Из теоремы следует, что в линейной однородной системе с нетривиальными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и обратно, из неустойчивости одного решения вытекает неустойчивость всех остальных решений.

Однородная линейная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой, если все решения этой системы неустойчивы, то неустойчивая система.

Теорема 2:Линейная однородная система дифференциальных уравнений (ЛОСДУ) устойчива тогда и только тогда, когда каждое решение ограничено дляt≥t0.

ЛОСДУ называется асимптотически устойчивой, если каждое ее решение асимптотически устойчиво.

Теорема 3:ЛОСДУ устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.

Из теоремы следует:

  1. Асимптотически устойчивая линейная однородная система устойчива в целом;

  2. Если в линейной однородной системе асимптотически устойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения так же асимптотически устойчивы.