
- •Оглавление:
- •Введение.
- •Устойчивость в смысле Ляпунова.
- •Устойчивость однородной системы.
- •Устойчивость неоднородной системы.
- •Критерий Гурвица.
- •Второй метод Ляпунова.
- •Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения.
- •Исследование устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с помощью второго метода Ляпунова.
- •Список литературы.
Устойчивость однородной системы.
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений:
,
(6)
где aij(t),fi(t) – непрерывные функции на полуинтервале [b≤t ≤∞).
В векторной форме систему (6) можно представить следующим образом:
,
(7)
где:
,
,
.
Однородная система, соответствующая
(7), имеет вид:
(8).
Эта система имеет тривиальное решение x(t)≡0.
Устойчивость произвольного решения связывают с устойчивостью тривиального решения.
Теорема 1:Любое решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда устойчиво ее тривиальное решение
Доказательство:
Докажем, сначала достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение x(t)≡0 устойчиво. Это означает, что для любогоε>0 существуетδ>0 такое, что для любого решениях = ξ(t), удовлетворяющего приt=t0 неравенству ║ξ(t0)║<δ, будет справедливо неравенство ║ξ(t)║< εдля всех значенийt≥t0.
Пусть x=ψ(t) – произвольное решение. Докажем его устойчивость. Обозначим черезx=φ(t) другое произвольное решение, удовлетворяющее приt=t0условию:
║ψ(t0) -φ(t0)║ <δ. (9)
Из свойств однородной системы следует, что разность ψ(t) -φ(t) =ξ(t) – также решение системы (8), причем в силу устойчивости тривиального решения получим неравенство ║ψ(t) -φ(t)║ <εприt=t0, что означает устойчивость решенияx=ψ(t). Достаточность доказана.
Выполним доказательство необходимости условия теоремы. Пусть решение x=ψ(t) устойчиво. Покажем, что тогда будет устойчиво тривиальное решение. Устойчивость решения означает, что для произвольного решения φ(t), удовлетворяющего приt=t0 неравенству ║ψ(t0) -φ(t0)║ <δ, будет справедливо неравенство ║ψ(t) -φ(t)║ <εприt≥t0.
Пусть х = ξ(t) – решение системы (8), удовлетворяющее условию ║ξ(t0)║<δ. Запишем это решение в виде:ξ(t) = [ξ(t) +ψ(t)] -ψ(t). Сумма решений ξ(t) +ψ(t) представляет собой также решение системы (8), причем при t=t0справедливо неравенство
║[ξ(t) +ψ(t)] -ψ(t)║ <δ. Тогда из устойчивости решенияψ(t) следует, что приt>t0 будет выполняться неравенство:
║[ξ(t) +ψ(t)] -ψ(t)║ = ║ξ(t0)║<ε, (10)
что и означает устойчивость тривиального решения. Этим доказана необходимость условия теоремы.
Из теоремы следует, что в линейной однородной системе с нетривиальными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и обратно, из неустойчивости одного решения вытекает неустойчивость всех остальных решений.
Однородная линейная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой, если все решения этой системы неустойчивы, то неустойчивая система.
Теорема 2:Линейная однородная система дифференциальных уравнений (ЛОСДУ) устойчива тогда и только тогда, когда каждое решение ограничено дляt≥t0.
ЛОСДУ называется асимптотически устойчивой, если каждое ее решение асимптотически устойчиво.
Теорема 3:ЛОСДУ устойчива тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво ее тривиальное решение.
Из теоремы следует:
Асимптотически устойчивая линейная однородная система устойчива в целом;
Если в линейной однородной системе асимптотически устойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения так же асимптотически устойчивы.