Оглавление:

1. Введение………………………………………………………………………...ст.2

2. Устойчивость в смысле Ляпунова…………………………………………….ст.2

3. Устойчивость однородной системы…………………………………………..ст.3

4. Устойчивость неоднородной системы………………………………………..ст.5

5. Критерий Гурвица…………………………………………………………...…ст.5

6. Второй метод Ляпунова………………………………………………………..ст.7

7. Исследование устойчивости по уравнениям первого приближения……….ст.10

8. Исследование устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования с помощью второго метода Ляпунова………………………………...ст.11

9. Список литературы……………………………………………………………ст.14

Введение.

Устойчивость или неустойчивость линейной стационарной системы определяется расположенным на S-плоскости нулей ее характеристического уравнения. Устойчивость системы не зависит от начальных условий или ее входных сигналов. Для нелинейных систем это перестает быть справедливым.

Ограниченность или неограниченность реакции нелинейной системы может зависеть от начальных условий или вынуждающей функции.

Устойчивость в смысле Ляпунова.

Под устойчивостью систем автоматического регулирования обычно понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения.

Требование устойчивости определяет, как правило, работоспособность системы. Полагая, что система автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим устойчивость решений дифференциальных уравнений. Пусть поведение системы автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

(i =1, 2, 3,…, n), (1)

где x_i– переменные, характеризующие состояния системы.

В векторной форме систему (1) можно записать следующим образом:

(2)

В уравнении (2) принято обозначение:

,,.

Если система (1) является автономной (если вектор-функция fне зависит явно от времениt, т.е. система дифференциальных уравнений имеет вид, то система уравнений называется автономной (стационарной)), то уравнение (2) имеет вид:

. (3)

Введем в рассмотренные (n+ 1)-мерное пространствоEⁿ⁺¹, координатами которого являютсяt,x₁,…,x_n. Будем рассматривать только такие системы, правые части которых по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по независимым переменным x₁,…,x_nв некоторой выпуклой областиgпространстваEⁿ⁺¹. В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, т.е. для любых начальных значений t₀,x₁₀,…,x_n0существует, и притом единственное решение:

(i=1, 2, 3,…,n), (4)

удовлетворяющее начальным условиям:

(i=1, 2, 3,…,n). (5)

Будем считать функции ξ_i(t) оптимальными дляt₀<t<∞, причемt₀можно считать равным -∞.

Рассмотрим некоторое решение системы (2) , определенное на интервале [t₀,∞), причем.

Решение ξ_i(t) называется устойчивым по Ляпунову приt→∞, если для любогоε>0 существует такоеδ>0, зависящее отεиt, что любое решениеx_i=φ_i(t), для которогоt=t₀ выполняется неравенство │φ_i(t₀) -ξ_i(t₀)│<δ, удовлетворяет неравенству │φ_i(t) -ξ_i(t)│<ε, приt₀≤t<∞для всехi=1, 2, 3,…,n.

Геометрически это означает, что все решения, которые при t=t₀начинается вδ-окрестности точки(x₁₀,…,x_n0), никогда не покинутε-трубку решение ξ(t) (рис.1).

Решение ξ₁(t) называется неустойчивым, если существуетε>0 такое, что для любогоδ>0 найдется такой момент времениt=t₁, что для некоторого значенияi=kиt=t₁ будет выполняться неравенство: │φ_k(t₁) –ξ_k(t₁)│≥ε, несмотря на то что: │φ_k(t₀) –ξ_k(t₀)│<δдля всехi=1, 2, 3,…,n.

Решение ξ_i(t) называется ассиметрически устойчивым, если:

1. Решение ξ(t) устойчиво по Ляпунову приt→∞;

2. Существует такое число μ> 0, что для любого решенияφ_i(t), удовлетворяющие приt=t₀ неравенство:

Если μ=∞, то динамическая система называется устойчивой в целом.