практическая работа / МОТС практическая работа №2 / Сходимость ряда Фурье в точке

Сходимость ряда Фурье в точке

Пусть f (x) является кусочно гладкой функцией в интервале [−π, π]. Тогда для любого

где f (x₀ − 0) и f (x₀ + 0) представляют собой, соответственно, левосторонний и правосторонний пределы в точке x₀.

Равномерная сходимость ряда Фурье

Говорят, что последовательность частичных сумм ряда Фурье {f_N (x)} сходится равномерно к функции f (x), если скорость сходимости частичных сумм f_N (x) не зависит от x (рисунок 3). Будем говорить, что ряд Фурье функции f (x) сходится равномерно к этой функции, если

Теорема. Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно гладкой функции сходится равномерно.

Рис.3		Рис.4, n = 35

Сходимость ряда Фурье в пространстве L₂

Пространство L₂ (−π, π) образовано функциями, удовлетворяющими условию

Будем говорить, что функция f (x) является квадратично интегрируемой, если она принадлежит классу L₂. Если f (x) квадратично интегрируема, то

то есть частичные суммы f_N (x) сходятся к f (x) в смысле среднего квадратичного. Из равномерной сходимости ряда Фурье следует как сходимость в точке, так и сходимость в пространстве L₂. Обратное утверждение неверно: сходимость в пространстве L₂ не означает, что ряд Фурье сходится в точке или равномерно, и, аналогично, из сходимости в точке не вытекает равномерная сходимость или сходимость в пространстве L₂.

Явление Гиббса

Если функция имеет разрыв второго рода в некоторой точке, то частичные суммы ряда Фурье будут осциллировать вблизи этой точки (смотрите рисунок 4 выше). Этот эффект называется феноменом или явлением Гиббса. В любой точке разрыва второго рода амплитуда выбросов примерно на 18% (при ) превышает амплитуду скачка функции в точке разрыва.