37 Геометрическое приложение определенного интеграла
рис.4
1.Площадь криволинейной фигуры в декартовых координатах.
Площадь
криволинейной трапеции АавВ, ограниченной
сверху кривой
снизу, осью
слева
и справа соответственно прямыми
вычислим
по ф-ле
рис.5
Площадь
криволинейной фигуры
ограничена сверху и снизу соответственно
кривыми
,
а слева и справа соотв. прямыми
вычислим по ф-ле
2.Длина
дуги кривой
,
где
3.Обьем тел вращения
Обьем
тела, полученного при вращении вокруг
оси
криволин. трапеции вычисл. по ф-ле:
Обьем
тела, полученного при вращении вокруг
оси
вычислим по формуле:
38 Несобственные интегралы
Пусть
функция
опеделена и интегрируема на произвольном
отрезке
,
т.е фн.
опредена для любого
Несобств.
интегралом
от функции
наход. на полуинт.
назыв. предел фн.
,
при
Если
предел, стоящий в правой части равенства
существует и конечен, то несобственный
интеграл назыв. сходящимся , в прот.
случ. – расходящимся .
Пусть
фн.
непрерывна, но не ограничена на
полуинтерв.
.
Если
существует и конечен предел
справа, где
,
то он назыв. несобств. интегралом от
фн.
на
Аналогично
вводится понятие несобственного
интеграла от фн.
,
непрерывной, но не ограниченной на
полуинт.
39 Фн. Нескольк. Переменных
Пусть x, y ,z y некот. числ. множества.
Фн.
двух перем. назыв. множество F
упорядоченных троек чисел (x,
y
,z)
таких,что
и каждая упорядоченная пара чисел
входит в одну и только одну тройку этого
множества, а каждое z
входит
по крайней мере в одну тройку, при этом
говорят, что упорядоченной паре чисел
xy
поставлено в соответствие число z
Фн.
двух переменных изображается в
пространстве в виде поверхности ,кот.
определяется ур-ем
.
40 Геометрическое изображение фн. двух переменных.
Построение
графиков фн. двух переменных во многих
случаях представл. трудности. Поэтому
существует способ изображения фн. 2-ух
переменных, основанный на сечении
поверхности
плоскостями z=c,
где c=const.Назовем
линией уровня фн.
множество точек (x;y),
в которых фн. принимает одно и то же
значение с.
Очевидно,
при различных значениях с
получаются различные линии уровня фн.
Если
взять числа
образующие арифмет. прогрессию с
разницей h,
то
получим ряд линий уровней , по взаимному
расположению кот. можно получить
представление о графике фн.
Рис. 6
41.Предел функций двух переменных Пусть на некоторой области {М} определена ф-ция ƒ(М), т. М◦ не пренадлежит множеству М и любая δ-окресность т. М◦ содержит точки множества М.
Определение 1.
Ф-ция Z равная ƒ(М) называется непрерывной в т. М◦, если предел ф-ции в этой точке существует и равен значению ф-ции в этой точке, т. е. lim(M→М◦) ƒ(М)- ƒ(М◦) lim (х→х◦, у→у◦) ƒ(х,у)= ƒ(х◦,у◦).
Точка, в которой ф-ции не обладают св-вом непрерывности, называется точкой разрыва этой ф-ции.
Определение 2.
Ф-ция Z= ƒ(х,у) называется непрерывной в т. М◦, если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех т. М є {М} и удовлетворяющему ρ(М, М◦)<δ, выполняется неравенство │ ƒ(М)- ƒ(М◦)│<ε.
Назовем полным приращением ф-ции Z= f(М) в т.М◦ ф-цию ∆ Z= ƒ(М) -ƒ(М◦), тогда х-х◦=∆х, у-у◦=∆у, ∆Ζ=ƒ (х◦+∆х, у+∆у)-ƒ(х◦, у◦).
Определение 3.
Ф-ция Ζ=ƒ(М) называется непрерывной в т. М◦, если ее полное приращение в этой точке есть бесконечномалая величина при М→М◦, т. е. lim(М→М◦)∆Ζ= lim(М→М◦)(ƒ(М)-ƒ(М◦))=0, lim(∆х→0, ∆у→0)∆Ζ=0