71. Основные понятия. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.

Числовой ряд – это бесконечная последовательность чисел U_1, U_{2, … ,}U_n, …, соединённых знаком сложения, т. е. U₁ +U₂ + U_n + …=∑ U_n (1)

Числа U_i – это члены ряда, а U_n – это общий член ряда.

Ряд «заданный», если известен его общий член U_n , т е. задана функция f(n) натурального аргумента.

Сумма n первых членов ряда S_n называют n-ной частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный порядок последовательности его частных сумм. Т е. предел при n, стремящемся к бесконечности, от S_n равен S.

Если конечного предела последовательности частных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов.

Если ряд 1 сходится и имеет сумму S, то и ряд λ∑ U_n (n=от 1 до бесконечности)– также сходится и имеет сумму λ∙S;

Если ряды сходятся и их суммы соответственно равны, то и ряд ∑ (U_n +V_n ) (n=от 1 до бесконечности) также сходится, и его сумма равна S₁ + S₂ ;

Если ряд сходится, то и сходится ряд, полученный из данного путём отбрасывания или приписывания конечного числа членов. Ряд, полученный из данного путём отбрасывания первых n членов, называется n-ным остатком ряда. Если сумму n-ного остатка ряда обозначить через Gn, то сумму ряда один можно представить в виде S= S_n+ Gn;

Для того, чтобы ряд один сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n, стремящемся к бесконечности, остаток ряда стремился к нулю. То есть limGn = 0.

72. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

Теорема: Если ряд сходится, то предел его общего члена при n→0 равен нулю.

Доказательство: Выразим n-ный член ряда через сумму его n и n-1 члена, т е. S_n= U+ S_n-1; U_n= S_n - S_n-1. Так как ряд сходится, то lim S_n =S (при n стремящемся к бесконечности) и lim S_n-1 =S (при n стремящемся к бесконечности). Поэтому lim U_n = lim S_n - lim S_n-1= S - S =0.

Следствие: Если предел общего член ряда один при n, стремящемся к бесконечности и неравном нулю, то ряд расходится. Например, расмотрим ряд 1+1/2+1/3+…+1/n+… (2)

Такой ряд называется гармоническим. Необходимый признак сходимости выполнен. Докажем, что гармонический ряд расходится.

Запишем сумму первых 2n и n членов ряда. S_2n = 1+1/2+1/3+…+1/2n;

S_n = 1+1/2+1/3+…+1/n

Найдём разность S_2n - S_n . Заменяя в сумме каждое слогаемое наименьшим, равным 1/2n, прийдём к неравенству S_2n - S_n >1/2n+…+1/2n= 1/2n∙n=1/2.

Предположим, что гармонический ряд сходится: lim S_2n = lim S_n =S (при n стремящемся к бесконечности).

Переходя в неравенстве к пределу при n, стремящемся к бесконечности, получим, что lim (S_2n - S_n)= S - S =0 с одной стороны, а с другой S - S≥1/2.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, ряд не сходится.

73.Ряды с положительными членами. Признак сравнения.

Теорема: Пусть даны 2 ряда с положительными членами: ∑ U_n и ∑V_n , причём члены первого ряда не превосходят членов второго ряда, т е. при любом n U_n≤ V_n . Тогда:

Если сходится ряд два, то сходится и ряд один;

Если расходится ряд один, то расходится и ряд два.

Доказательство: Пусть частичные суммы рядов 1 и 2 соответственно равны. Отметим эталонные ряды, часто использующиеся для сравнения:

1) Геометрический ∑a₁q^n-1(n=от 1 до бесконечности) сходится при |q|<1, расходится при |q|≥1;

2) Гармонический ∑1/n (n=от 1 до бесконечности) расходится;

Обобщённый гармонический ряд ∑1/n^α (n=от 1 до бесконечности) сходится при |α|>1, расходится при |α|≤1.