Багатокритеріальні задачі оптимізації

3.1. Загальна постановка багатокритеріальної задачі оптимізації

Як вже було сказано вище, однією зі складностей при прийнятті рішень є наявність великого числа критеріїв, які не завжди погоджені між собою.

Це передбачає побудову відповідних математичних моделей і застосування математичних методів прийнятті рішень при багатьох критеріях.

У даному розділі ми розглядатимемо скінченновимірні багатокритеріальні задачі, тобто такі задачі в яких множина допустимих альтернатив X  E_m і заданий векторний критерій f (х) = (f₁(х), … f_M (х)).

Множина X зазвичай виділяється з деякої ширшої множини D за допомогою спеціальних обмежень, які найчастіше подають у вигляді нерівностей, а саме:

,

де g_i, i = 1, 2, … k – числові функції, визначені на D, що складають вектор-функцію обмежень.

Залежно від структури множини Х (або D) і властивостей цільових функцій f_j (x) (а також g_i) для зручності дослідження виділяють різні класи багатокритеріальних задач. Якщо множина Х скінченна, то задача називається скінченною, якщо Х скінченна або ж лічена, то ‒ дискретною, якщо всі компоненти x_i є цілими числами – то цілочисельною. Відповідно визначаються булеві, а також лінійні, увігнуті та інші задачі багатокритеріальної оптимізації.

Ми розглядатимемо таку задачу.

Нехай задана множина допустимих альтернатив Х, властивості яких описуються сукупністю функцій цілі f = {f_i(x)}, iI, xX, де I = {1, 2, … , M} множина індексів. Вважатимемо, що m перших функцій цілі максимізуються, а інші (М – m) мінімізуються. Позначимо І₁  множину індексів для яких функції цілі максимізуються, І₁ = {1, 2, … , m}; І₂ – множину індексів для яких функції цілі мінімізуються, І₂ = {m+1, m+2, … M}. Тоді багатокритеріальна задача може бути записана у вигляді:

(3.1)

3.2. Поняття ефективної альтернативи

Розглянемо задачу багатокритеріальної оптимізації (3.1).

В термінах функцій цілі альтернативи х₁ і х₂ ми можемо порівнювати таким чином:

– альтернатива х₁ не гірша за альтернативу х₂ (х₁  х₂), коли

– альтернатива х₁ еквівалентна альтернативі х₂ (х₁ ~ х₂), коли

– альтернатива х₁ строго переважає альтернативу х₂ (х₁ > х₂), коли

і хоч би одна нерівність виконується як строга.

Вочевидь, що не всяка пара альтернатив може бути порівняна між собою.

П р и к л а д  3.1. Нехай f(x) = (f₁(x), f₂(x)), причому f₁(x) максимізується, а f₂(x) мінімізується на дискретній множині X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, і задана таблиця рішень (табл. 3.1).

Таблиця 3.1.

Значення функції f(x) = (f₁(x), f₂(x))

	f1(x)	f2(x)
x1	7	5
x2	6	2
x3	5	4
x4	6	6
x5	4	1

У цій задачі , про інші альтернативи взагалі нічого не можна сказати.

О з н а ч е н н я  3.1. Альтернатива х₀ називається ефективною, якщо на множині допустимих альтернатив X не існує такої альтернативи х, для якої виконувалися б нерівності

і хоча би одна з них була строгою.

Іншими словами, жодна інша альтернатива не може «поліпшити» значення деякої функції цілі не погіршивши при цьому значення деякої іншої функції цілі.

Тому іноді ефективні альтернативи називають непокращуваними за множиною цілей, або оптимальними за Парето.

Серед множини оптимальних за Парето альтернатив і слід шукати рішення задачі багатокритеріальної оптимізації. Проте яку саме альтернативу потрібно вибрати сказати не можна, необхідно додаткове дослідження.

З визначення ефективних альтернатив витікає, що вони можуть бути незрівняні між собою.

Має місце наступна лема.

Лема 3.1. Дві ефективні альтернативи або еквівалентні, або незрівняні між собою.

Доведення

Якщо х₀ – ефективна альтернатива, то для будь-якої альтернативи х, яка порівняна із х₀ за множиною функцій цілі або справедливі n рівностей , і тоді х еквівалентна х₀, або знайдеться такий індекс , що , якщо , або якщо тоді альтернатива х, не може бути ефективною.

Лему доведено.

Із цієї леми виходить, що якщо ефективна альтернатива одна, то вона дає оптимум кожному критерію.

У разі двох або трьох критеріїв множину ефективних альтернатив можна зобразити графічно. Нехай ми маємо задачу з двома критеріями, кожен з яких максимізується і множина допустимих альтернатив в критеріальному просторі має вигляд, який зображено на рисунку (рис.3.1).

Множина Парето в цьому випадку (для т = 2) є, образно кажучи, північно-східною межею множини допустимих рішень, без тих її частин, які паралельні осям координат або лежать в досить глибоких і крутих провалах.

Рис. 3.1. Множина допустимих рішень та множина Парето

О з н а ч е н н я 3.2. Альтернатива (рішення) називається слабо ефективною, а також слабо оптимальною за Парето, або оптимальною за Слейтером якщо не існує іншої альтернативи (рішення) такої, що

Слабо ефективна альтернатива – це оцінка максимальна за (). Множина ефективних альтернатив максимальна за ().

Всяка ефективна альтернатива є і слабо ефективною, і множина ефективних альтернатив Р(Y) міститься в множині слабо ефективних альтернатив S(Y).

Множина ефективних альтернатив Р(Y) (слабо ефективних альтернатив S(Y)) називається зовнішньо стійкою якщо для будь-якого yY\(P(Y) (yY\S(Y)), знайдеться така оцінка y⁰  Р(Y) (відповідно y⁰ S(Y)), що y⁰  у (y⁰  у).

Якщо множина Y складається з скінченного числа оцінок, то Р(Y) і S(Y) зовнішньо стійкі. У випадку нескінченної множини Y ця множина може і не бути зовнішньо стійкою. Проте при звичайних для оптимізаційних задач припущеннях (Х – компакт, f – напівнеперервна зверху), ця множина буде зовнішньо стійкою.

Рис. 3. 2. Множина альтернатив оптимальних за Слейтером

П р и к л а д  3.2. Нехай Y – одиничний квадрат з якого «виколота» права верхня вершина (рис. 3.2).

Для такого Y множина Р(Y) вочевидь пуста, а множина S(Y) утворюється правою і верхньою стороною квадрата (без точки (1,1)). Множина S(Y) очевидно зовнішньо стійка, кожній точці уY, в якій у₁, у₂  1, можна поставити у відповідність, наприклад точку y₀ = ((у₁ + 1)/2, 1), причому у₀ > у.

Означення (слабо) ефективного рішення є статичним в тому сенсі, що ґрунтується на попарному порівнянні рішень і не пов'язується з питанням про те, чи можливо «плавно» перейти від одного рішення до іншого, кращого з позитивною швидкістю збільшуючи кожен критерій.

Можливість такого переходу в деяких моделях є дуже цікавим.

Прикладом є модель чистого обміну, в якому кожен споживач бере участь в обміні прагнучи скласти собі набір товарів найбільшої корисності, тобто максимізувати свою функцію цінності. Такого роду моделі розглядували в XIX столітті Ф. Ешварт і В. Парето. Ефективним в моделі є стан (розподіл товарів між споживачами), який не може бути покращений шляхом перерозподілу товарів між учасниками без «ущемлення інтересів» деяких інших учасників.

Таким чином, оптимальність за Парето відображає ідею економічної рівноваги: якщо стан не є ефективним, то відбуватиметься торгівля, яка приведе до ефективного стану.