2.4. Властивості відношень
О з н а ч е н н я
2.11. Відношення R
називається рефлексивним,
якщо
для
будь-якого
.
Відношення «бути схожими», «бути не старшим» є рефлексивними, «бути братом», «бути старшим» – не рефлексивні.
В
матриці рефлексивного відношення на
головній діагоналі знаходяться одиниці,
тобто матриця така, що
якщо
.
Граф рефлексивного відношення обов’язково
має петлі у вершинах. Для верхнього й
нижнього розрізів справедливо
,
для
всіх x
.
О з н а ч е н н я 2.12.
Відношення R
називається антирефлексивним,
якщо
означає
,
для
.
В
матриці антирефлексивного відношення
на головній діагоналі знаходяться нулі,
тобто
якщо
.
Граф рефлексивного відношення не має
петель у вершинах, і верхні та нижні
розрізи задовольняють умові
,
для
всіх x
.
Прикладами антирефлексивних відношень будуть відношення «більше», «менше», «бути старшим».
О з н а ч е н н я 2.13.
Відношення R
називається симетричним,
якщо
.
Матриця
симетричного відношення симетрична,
тобто
для
всіх i,
j.
У графі всі дуги парні. Для розрізів має
місце рівність
для
всіх x
.
Симетричними є відношення рівності, «бути схожим», «вчитися в одній групі».
О з н а ч е н н я 2.14.
Відношення R
називається асиметричним,
якщо
(тобто з двох виразів x
R y
та y
R x хоча
б один не вірний).
У
матриці симетричного відношення
для
всіх i,
j.
Тобто з двох симетричних елементів
і
хоча
б один обов’язково дорівнює 0.
Асиметричними, наприклад, є відношення «більше» та «менше».
Зауважимо, що антирефлексивність є обов’язковою умовою асиметричності.
О з н а ч е н н я 2.15. Відношення R називається антисиметричним, якщо x R y та y R x можуть бути вірні одночасно тоді і тільки тоді, коли x = y.
Для
матриці антисиметричного відношення
справедливо
,
якщо
.
Прикладами антисиметричних відношень будуть відношення «більше або дорівнює», «не більше», «не гірше».
О з н а ч е н н я 2.16.
Відношення R називається транзитивним,
якщо
(
якщо з
та
випливає
).
Прикладами транзитивних відношень є відношення «більше або дорівнює», «менше», «бути старшим», «вчитися в одній групі».
Умова
дає
зручний спосіб перевірки транзитивності
відношення. Якщо відношення задано
матрицею для цього необхідно обчислити
матрицю відношення
(тобто піднести в квадрат матрицю
вихідного відношення) і перевірити
умову. Якщо
для всіх i,
j
– відношення транзитивне. Якщо ж
умову
порушено
хоча б для однієї пари індексів i,
j
– відношення не буде транзитивним.
О з н а ч е н н я 2.17.
Відношення R називається ациклічним,
якщо
,
тобто з
... ,
випливає, що
.
Це означає, що граф такого відношення не містить циклів.
О з н а ч е н н я 2.18.
Відношення R називається від’ємно
транзитивним,
якщо його доповнення
транзитивне.
О з н а ч е н н я 2.19. Відношення R називається сильно транзитивним, якщо воно водночас транзитивне та від’ємно транзитивне.
Властивості ациклічності та транзитивності особливо важливі у теорії прийняття рішень, тому що вони виражають природні взаємозв’язки між об’єктами. Дійсно, якщо об’єкт х в деякому сенсі не гірше за об’єкт y, а об’єкт y в тому ж сенсі не гірше за об’єкт z, то природно чекати, що об’єкт x буде не гіршим за об’єкт z (транзитивність), і у всякому разі z не краще за x (ациклічність).
П р и к л а д 2.10. Визначити властивості даного відношення
Розв’язування
Дане відношення є рефлексивним, воно не є симетричним, асиметричним та антисиметричним.
Для перевірки транзитивності даного відношення знайдемо добуток даного відношення на себе.
Оскільки
, дане відношення не є транзитивним.