Обчислення одномірних моментних функцій по характеристичним

Розглянемо одномірну характеристичну функцію

та обчислимо по аргументу v_k першу похідну від неї:

Для v_k = 0 маємо:

Початкове значення (для v_k = 0) похідної 1-го порядку одномірної характеристичної функції з точністю до постійного множника j визначає математичне очікування або одномірну початкову функцію 1-го порядку:

Друга похідна одномірної характеристичної функції

Тоді середній квадрат

Одномірна моментна функція 2-го з точністю до (-j)² пропорційна другій похідній від одномірної характеристичної функції в точці v_k = 0.

Приклад.

Розглянемо процес X(t) з експоненціальним законом розподілу

Математичне очікування такого процесу в перерізі :

Середній квадрат:

Тоді дисперсія може бути обчислена як різниця між середнім квадратом та квадрати середнього значення:

Обчислимо ці ж величини на основі характеристичної функції 1-го порядку

Перша похідна характеристичної функції:

Початкове значення похідної:

Тоді

Початкове значення другої похідної

Отже, середній квадрат

Результати розрахунків з використанням характеристичних функцій повністю співпадають з отриманими раніше на базі визначень математичною очікування та середнього квадрату.

Характеристична функція закону Лапласа

Оскільки парна, то .

За методом характеристичних функцій:

Дисперсія тоді є середньостатистичним квадратом:

Експоненціальний закон та його узагальнення часто використовується для вирішення технічних проблем, пов'язаних з визначенням надійності систем, часу очікування доступу користувачів в яку-небудь систему (канали телефонного, телеграфного зв'язку чи, наприклад, мережа Internet), числа каналів системи зв'язку, необхідних ,для реагування на повідомлення користувачів, що поступають у випадкові моменти часу та характеризуються довільною довжиною.

Приклад.

Гармонічне коливання характеризується випадковою початковою фазою з рівномірним законом розподілу на інтервалі і детермінованими амплітудою та частотою:

Визначити середнє статистичне, середній квадрат та дисперсію початкової фази.

У зв'яжу з тим, що функція щільності ймовірності симетрична відносно осі ординат, математичне очікування .

Середнє значення квадрату початкової фази процесу з таким законом розподілу ймовірностей згідно з отриманим раніше результатом

Значення середнього квадрату визначає дисперсію , оскільки математичне очікування дорівнює нулю.

Тепер обчислимо ці ж характеристики на основі одномірної характеристичної функції:

Середній квадрат випадкової початкової фази

Після двократного диференціювання та розкриття невизначеності отримаємо середній квадрат га дисперсію:

Отже, знаючи одномірну характеристичну функцію на основі ( ) і ( ), ми можемо обчислювати одномірні моментні функції відповідних порядків, навіть, більше другого.

Приклад.

Випадковий прогрес X(t) в k-ому перерізі визначається дискретною випадковою величиною , ймовірності прийняття значень якого задаються рядом . Визначити середній квадрат та математичне очікування процесу в заданому перерізі методом характеристичних функцій.

Згідно з означенням для дискретної випадкової величини одномірна характеристична функція

Перша похідна характеристичної функції по її аргументу:

а її початкове значення

Тоді відповідно до ( ) математичне очікування

Для визначення середнього квадрату обчислимо початкове значення другої похідної характеристичної функції:

Згідно з ( ) середній квадрат

.

Поибки 6 лекція

Приклад. Оцінити сумарну адитивну похибку ІВС, якщо Δ_адав = ±0,08; Δ_БО=±0,02; параметри АЦП, як у попередньому прикладі: 2,0/0,5; нормуюче значення Y_Н=1; К_БО = 0,5; К_АЦП =1

Знаходимо коефіцієнти впливу

Тоді

()

Тоді

Після того, як визначені адитивна та мультиплікативна складові для всієї системи їх об’єднують

Δ_ІВС = Δ_Y = Δ_Yа + Δ_Yм

δ_Y = δ_Yм + δ_Ya = δ_Yм + = δ_Yм +

Приклад:

Якщо величини Δ_Ki, Δ_аді є випадковими, то сумарна систематична похибка ІВС оцінюється математичним очікуванням співвідношень (4) з урахуванням коефіцієнтів впливу. Наприклад:

Δ_{ІВСсист} = М[ΔY_a]+M[ΔY_m]

Приклад В. Середньоквадратичні значення випадкової похибки блоків такі: , , , . Похибки корельовано, тоді

Приклад С. Випадкова похибка ВК зміщується в межах ±2,5% і розподілена за рівномірним законом, а похибка блоку обробки підпорядкована нормальному закону розподілу і дорівнює ±0,05%. Похибки некорельовані визначити результуючу похибку системи.

Якщо закон рівномірний в межах b,a, то , а середньоквадратичне значення . Отже, для довірчої ймовірності 1 => b-a=Δ_д(Р_Д=1). Тоді . У нашому випадку . Таким чином,

Для блоку обробки (норм. закон)

Остаточно,

Клас точності приладу – зведена похибка у відсотках: