Саратовский государственный технический университет
Балаковский институт техники, технологии и управления
Лабораторная работа №4
ГРАФЫ
Выполнил студент: УИТ-3в
Проверил:
Балаково 2008 год.
Цель работы: приобрести навыки математического описания САУ с помощью графов, а также оптимизации ориентированных и неориентированных графов и составления матриц смежности и инцидентности.
Задание №1
Дана система уравнений:
Упростим:
Избавляемся от дифференциалов в заданной системе уравнений, для этого переходим к операторному виду:
Избавляемся то петель
на узле z1
;
;
;
,
на узле z2
;
;
,
на узле z3
,
на узле z4
;
,
на узле z5
;
;
;
;
.
Таким образом схема примет вид:
Избавляемся от встречно-параллельных дуг
на узле z1
;
,
на узле z5
;
,
на узле z1
,
После этого наша схема будет выглядеть, так:
Избавляемся от узла z2
;
,
Избавляемся от параллельных дуг
;
,
Избавляемся от узла z1
;
,
а также от параллельных дуг:
;
,
Избавляемся от узла z3
;
;
а также от параллельных и встречно-параллельных дуг:
;
,
Избавляемся от узла z4
;
а также от параллельных дуг:
,
Избавляемся от узла z5
;
В результате получается граф, представляющий собой две вершины, которые
являются входом и выходом системы или объекта управления. Вес дуги, соединяющей эти вершины, является передаточной функцией системы или объекта управления.
Задание №2
По заданным схемам ориентированного и неориентированного графов составить матрицы смежности и инцидентности, а также провести оптимизацию графов.
Неориентированный граф
Составляем список ребер в порядке увеличения их весов:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
5 |
5 |
6 |
|
(a,b) |
(b,c) |
(b,e) |
(a,e) |
(a,c) |
(c,d) |
(d,e) |
(c,e) |
Отбрасываем те ребра, которые образуют цикл: (c,e); (d,e); (a,e) и (a,c). Оставшиеся ребра образуют минимально покрывающее дерево:
|
|
|
|
|
|
|
|
Составляем матрицы смежности и инцидентности.
|
Матрица смежности |
Матрица инцидентности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A= a b c d e a 0 1 1 0 1 b 1 0 1 0 1 c 1 1 0 1 1 d 0 0 1 0 1 e 1 1 1 1 0 |
B= (a,b) (a,c) (a,e) (b,c) (b,e) (c,e) (c,d) (d,e) a 1 1 1 0 0 0 0 0 b 1 0 0 1 1 0 0 0 c 0 1 0 1 0 1 1 0 d 0 0 0 0 0 0 1 1 e 0 0 1 0 1 1 0 1 |
F=1+2+3+5=11
Ориентированный граф
Минимальный путь от истока (о) к стоку (х5):
-
последовательность вершин: (о-х2-х5);
-
вес пути: F=3+1=4.
Составляем матрицы смежности и инцидентности.
Матрица смежности:
|
R= |
o |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
o |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
x1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
x2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
x3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
x4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Матрица инцидентности:
|
S= |
(o, x1) |
(o, x2) |
(o, x3) |
(o, x4) |
(x1, x2) |
(x2, x5) |
(x3, x2) |
(x4, x3) |
(x4, x5) |
|
o |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
x1 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
x2 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
+1 |
-1 |
+1 |
0 |
0 |
|
x3 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
+1 |
0 |
|
x4 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
-1 |
|
x5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+1 |
0 |
0 |
+1 |
Вывод: приобрели навыки математического описания САУ с помощью графов, а также оптимизации ориентированных и неориентированных графов и составления матриц смежности и инцидентности.