Випадкова величина

Нехай є імовірнісний простір виду .

Випадковою величиною називається вимірна числова скалярна функція , елементами якої є елементарні події.

Числова скалярна функція - це функція, що задовольняє наступній умові:

подія - алгебрі й, отже, має ймовірність настання.

Якщо зроблено випробування, у результаті якого відбулася деяка елементарна подія . Відповідно до функції цій елементарній події відповідає число, що називається реалізацією випадкової величини x у даному випробуванні.

Відповідно до визначення випадкової величини вводиться числова скалярна функція F(x), , певна для кожного дійсного x і по визначенню рівна ймовірності настання події:

Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини .

Розглянемо три події:

де a<b, a, b - дійсні числа.

Властивості:

Покажемо, що з факту

A₂  ?-алгебрі

A₁  ?-алгебрі

і рівності треба, що A₃  ?.

По визначенню -алгебри A₃ вимірна, тому можна прийняти III аксіому теорії імовірності:

F(x) - неубутна функція

Якщо x<y, то

т.к. , те перетворення вірні.

Для всіх технічних додатків функцію розподілу можна вважати спрямованої ліворуч.

У силу того, що функція розподілу не убуває, вона однозначно задає стчетно-аддитивну міру на поле, породженому всіма напівінтервалами ненульової довжини.

По уведеному полю побудуємо борелевску алгебру. Позначимо її . Візьмемо довільне число B не приналежному полю. Це крапка або сегмент. Т.к. множина отримана за допомогою рахункової суми або рахункового перетинання множин приналежних -алгебрі, та й ця множина належить ?-алгебрі й, отже, існує ймовірність настання події B. Отже, має місце наступне еквівалентне визначення вимірної функції.

Функція називається вимірної, якщо для будь-якого BО множина

алгебрі

де

множина, отримана в такий спосіб:

Функція g(x) називається борелевскою функцією, якщо для будь-якого B?? множина

Борелевска функція - функція, обумовлена на системі борелевских множин.

У функціональному аналізі показано, що всі відомі аналітичні функції є борелевскими.

ТЕОРЕМА:

Нехай g(x) борелевска функція, - випадкова величина, тобто вимірна функція. Тоді функція

є вимірною й, отже, випадковою величиною.

Беремо довільне B. по визначенню борелевскої функції.

Розглянемо множину

т.к. вимірна функція й , те A?-алгебрі

Отже, функція - вимірна функція, тобто випадкова величина.

Теорема Колмогорова

Будь-яка числова скалярна функція, що задовольняє властивостям, яким задовольняє функція розподілу, є функцією розподілу й однозначно задає імовірнісний простір виду:

? - борелевска алгебра;

P - міра на борелевскій алгебрі;

R¹ - числова скалярна вісь.

Уведемо функцію F(x)

Ця функція визначена для всіх x, що не убуває, безперервна зверху. Показати самим, що така функція однозначно задає счетно-аддитивну міру на поле, породженому всіма напівінтервалами ненульової довжини.

Доведемо, що 0<F(x)<1

Відповідно до термінології, якщо функція y=f(x) безперервна на відрізку [a, b], те вона обмежена. Оскільки наша функція не убутна, то максимум і мінімум вона відповідно буде мати такий:

т.е. 0<F(x)<1.

2. Нехай маємо наступні функції.

Побудуємо борелеву алгебру на поле, тоді по теоремі про продовження счетно-аддитивна функція, певна на поле, без зміни аксіом теорії імовірності, однозначно поширюється на всі елементи борелевоі алгебри, не приналежному полю. Т.о. імовірнісний простір побудований, теорема доведена.

Зміст теореми.

Теорема Колмогорова дозволяє затверджувати, що якщо ви досліджуєте випадкову величину, те не треба будувати абстрактний простір елементарних подій, -алгебру, счетно-аддитивну міру, конкретний вид функції . Нашою задачею буде лише те, що вважаючи R¹ - числовою скалярною віссю - простір елементарних подій, ми повинні знайти функцію розподілу F(x), використовую статистику: результату конкретного випробування над випадковою величиною:

X₁, X₂, ..., X_n