2. Операції над подіями

3. Частковість настання подій

4. Властивості частковості

Література:

1. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.587-589

Додаткова література:

1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.579-580

2. В.Е. Гурман «Теория вероятности и математическая статистика» стр.7-8

Розділ: «Елементи теорії ймовірності»

Лекція

Тема: Визначення класичної ймовірності

Ціль: Вивчити основні поняття по даній темі.

План: 1. Побудова імовірнісного простору

2. Теорема про продовження міри

3. Визначення імовірнісного простору

4. Класичне визначення ймовірності

Побудова імовірнісного простору.

Послідовно будуємо імовірнісний простір.

Етап 1:

Є випробування. У результаті проведення випробування може спостерігатися одну подію із серії подій . Всі події із системи  називаються спостережуваними. Уведемо припущення, що якщо події A  , B   спостережувані, те спостережувані й події .

Система подій F називається полем подій або алгеброю подій, якщо для двох довільних подій A, B ( F виконується:

1. Доповнення

2. (A+B) ( F, (A(B)

3. всі кінцеві суми елементів з алгебри належать алгебрі

4. всі кінцеві добутки елементів з алгебри належать алгебрі

5. всі доповнення кінцевих сум і добутків належать алгебрі.

Таким чином, систему ( ми розширюємо до алгебри або поля F шляхом включення всіх кінцевих сум, добутків, і їхніх доповнень. Тобто уважаємо, що в результаті проведення випробування спостережувана система є полем або алгеброю.

Множина всіх підмножин кінцевого числа подій є спостережуваною системою - алгеброю, полем.

Етап 2:

Кожній події A  F ставимо у відповідність число P(A), що називається ймовірністю настання події A. Така операція задає імовірнісну міру.

Імовірнісна міра - числова скалярна функція, аргументами якої є елементи із системи алгебри F. Уведена імовірнісна міра задовольняє системі із трьох аксіом.

1. 

2. P(U)=1.

3. Розглянемо кінцеву або нескінченну систему попарно неспільних подій, кожне з яких належить алгебрі F.

. Якщо , те .

Алгебра подій називається ( - алгеброю, якщо ця система подій містить у собі всі кінцеві суми й добутки з алгебри F і їхнього доповнення, а також всі нескінченні суми й добутки з алгебри і їхнього доповнення.

Приклад: У просторі R¹ задамо в якості поля подій всі кінцеві інтервали виду axb, ba.

Поширення цієї алгебри на ( - алгебру приводить до поняття борелевскої алгебри, елементи якої називаються борелевскими множинами. Борелевска алгебра виходить не тільки розширенням поля виду a(x(b, але й розширенням полів виду a(x(b, a(x(b.

Над спостережуваним полем подій F задається счетно-аддитивна міра - числова скалярна функція, елементами якої є елементи поля F, тобто події. Вона задовольняє наступним трьом умовам-аксіомам теорії імовірності.

1. . P(A) - число, що належить сегменту [0, 1] і яке називається ймовірністю настання події A.

2. P(A) ( [0, 1] P(U)=1.

3. Нехай є A₁, A₂, A₃,..., A_k - система попарно неспільних подій

Якщо , то .